Courbes (v,cy) du mouvement descendant
— Premier cas. — La vitesse initiale est plus petite que v' [cF(V,)<^].
Prenons toujours les v comme abscisses et les cy
comme ordonnées. La vitesse i^ peut varier de o à la vitesse terminale v' .
Les courbes (y,cj) ont pour équation
vdv cy =
Fig 29.
qui peut s'écrire encore
cy= —
Flv) — ^
vdv
La tangente au point v == o est horizontale. On peut donc prendre dans la définition de la fonction V^i l^i vitesse arbitraire V égale à zéro et donner le même point S comme origine à toutes les courbes représentatives des fonctions V- Chacune de celles-ci est distinguée par une certaine valeur v' et elle admet pour asymptote une verticale située à la distance v' de l'origine.
Ce réseau de courbes complète le réseau de la première figure du n° 62. Leur réunion permet de résoudre complètement le problème du mouvement d'un corps qu'on lance de bas en haut et qui, après avoir atteint le point culminant S retombe de haut en bas.
Ainsi, si on demandait avec quelle vitesse v, un corps
HOtVEHETiT VËRTICVL DVN-» l> MILIEl RESISTAIT loi
lancé avec une vile'.sp inilnle \, tic ba-. en haut retomberait au même poinl on tcnnit I ig-ïlilé df?s <leii\ fonctions A et V de la manière ■■imante ij" ^ ç^.
Cette relation associe un point i d une courbe v' descendante au point \ de K coiirbi i montante ; celle-ci
peut être désignée en effet pnr 4 ( t in heu de ilr, — } .
On peut remarquer que les fonctions à ou v considérées comme fonctions de la variable i' et de l'invariant r', restent les mêmes quand on permute les lettres v et i''.
Deuxième cas. -— La vitesse initiale est phis grande
Ici (hors un cas particulier), on sera obligé de prendre pour limite supérieure de l'intégrale v une vitesse arbitraire V. Mais on ne pourra ^ représenter et calculer que les fonctions v correspondant à des valeurs de o' inférieures A V : le graphique se présentera de ta manière ci-contre.
La fonction D(ii) correspondant à y' = o limitera le réseau de ces courbes ç. '■"'S ^o-
En amont du point V, les courbes v ont pour les vitesses infinies les' mêmes pifipriétésquela fonction lifoo ), Les propriétés au point Lt' à l'inrmi des couibcs v sont donc celles des courbes A du n" 6u au point Ù, et des courbes D du n" 53.
Si, en particulier, on suppose que le point 11' est à distance finie, il sera possible de rejxirter au point u =: as au lieu de y = V, l'origino commune des courbes v et
Fig. 3i.
la table de ces fonctions pourra alors renfermer Tensemble complet de ces courbes.
69. Résumé du mouvement vertical aseendant et descendant. — D'après ce qui précède, «i on considère le mouvement d'un projectile déterminé [v' donné) , il pourra être étudié de la manière suivante par la considération des courbes (d, cy).
La branche ÛS correspond au mouvement ascendant, La vitesse diminue depuis 00 jusqu'à o (point S culminant) ; le mouvement est réglé par l'intégrale AS.
La branche SZ correspond au mouvement descendant pour des vitesses \^ <v\ La vitesse peut y augmenter depuis o (point culminant) jusqu'à v^. Le mouvement est réglé par l'intégrale Vo-
La branche Ù'Z correspond au mouvement descendant pour des vitesses V^ > v'. La vitesse diminue depuis 00 (point Q') jusqu'à v'. Le mouvement est réglé par l'intégrale v2. Les positions relatives de la branche Ù'Z et de la branche SZ ne sont déterminables que lorsque, pour 1; = 00 , le point ù' est à distance finie. La dis lance SM peut alors se calculer exactement.
La branche SZ peut être absente et la branche Q'Z avoir du côté des Z une étendue finie dans le cas d'une résistance
SI
ca > g.
\' .Jt'
mou\t:ment vertical da^s un milieu résistant io3
70. Courbe (v, et). — On la discutera d'une manière analogue à la courbe {i\ cy).
La courbe (v, et) répond à l'équation :
dv
sur la branche ascendante QS et à l'équation
dv
ct = —
sur
les deux autres branches \ r,,^, ^ t? ,
( L'il ou V^ >u'
La tangente en S a pour
expression (si F(o) = o
dt I
dv
Les tangentes en Q et Q' sont réglées par les propriétés de la fonction S( oc) (55).
Fig. 32.
71 . Exereices. — Étudier le mouvement descendant en considérant les fonctions
gt =
et 9y = —
vdv
cF{v)
72. Cas d'une résistance proportionnelle à une puissance de la vitesse. — Soit F(i;) = BnV^ la
résistance ; posant cBq = 6^, on aura les équations difl'érenticllês suivantes :
MOt;VEME:ST ASCENDANT
