MOUVEMENT DESCENDANT
gt = -
gt =
gy
Ces équations sont intégrables pour toutes les valeurs entières de n, à condition qu'on puisse résoudre les équations binômes;
Soit v' la vitesse terminale, telle par conséquent que
— — = I . En introduisant le rapport p = — - dans les
équations, on pourra les mettre sous la forme suivante :
gy ^ A prfo
Les seconds membres sont des quantités purement numériques, dont il serait aisé de calculer une fois pour toutes des tables, l'exposant a étant donné. On voit que dans ce cas particulier, ces tables sont à simple entrée, parce que le facteur v' sort du signe f où il ne figure plus que dans le rapport 0 pris comme variable indépendante.
73. Hauteur maximum atteinte par un projectile. — Soient T et Y le temps et la hauteur depuis v = oc jusqu'à v = o dans le mouvement ascendant et dans le cas" d'une résistance ¥(v) = Bn v^.
On aura :
v" Jo I + p" ■
Posons p = z n ; d'où
c?p = — 2: n dz
Il viendra :
dz
Mais on peut démontrer que, a étant une constante positive et plus petite que i , on a :
'0 1+x sin.OTT
On aura donc :
nq TT
—7- 1 = lorsque n > i
sin — n
jj- \ =1 lorsque n > 2 ,
V"' . 'ITZ
sin — n
Dans le cas oh n ^ i , le temps et dans le cas o\i n ^ 'i, Fespacc, sont infinis (5i).
io6
74- Cas de n= 1. — On trouve aisément les formules suivantes, où
et
bi v' = g.
Mouvement descendant,
-po
Mouvement ascendant, V i+p
De ces équations, on peut déduire les relations entre j et <, qui sont les suivantes :
1^ = Log —
MZ. =r Oo 0-1- Loff —
— Po
fl'^
et
r == — v'< + (Vo + t/) - ( I — e -'
y = v't + (Vo^l/)- (l— « ^'
Pour le sommet de la trajectoire, on fera p = o, d'où :
— Log (
^ Log (. +1^) 9 \ ^ /
Exercices. — Discuter les courbes (v, ct\ (y, cy), fj, /) du mouvement.
73. Cas de n = 2. — On trouve aisément les formules suivantes où
p = — et
Mouvement ascendant.
<jt
- = arc tg Po — arc tg p
oy
= -LLo
Mouvement descendant.
qt 1 j 14-01 — Po -^ =— Log — !— i Ll
v' 1 I — p I -f- Po
ai i. Log -LZiPi
Les relations entre y ei t sont les suivantes :
-^ = ^ Log (ï + pî) cos- ^arc tg po — ^j
2=(i +po)^'*^'~~>' + (i - po)"^^'"*""^>'.'
Pour le sommet de la trajectoire, en faisant p = o on a :
1« = — arc is —
" ty
Log
Vo^ + u'^
Exercices. — i° Discuter les courbes (v, et), (v, cj), (y, 0 du mouvement.
'2° Démontrer les formules.
v' sin ^
— Vq cos ^
Vo sin ^ — |- v' cos -^
J=— — Log — sm ^ + cos ^ g \u V V J
Vf
JL
Vf
Vf
JL
Vf
J= — Log
evf-\-e Vf
76. Exercices. — i. Démontrer que dans le cas d'une résistance quadratique, l'espace parcouru pendant le mouvement ascendant peut se mettre sous la forme :
cos (&— -^) ^-
= Log ^ — avec tg p =
cos 'fi
'2. Soient a l'espace parcouru depuis le temps t^ — 6 jusqu'au temps il et b l'espace parcouru depuis le temps ti jusqu'au temps /i -(- 6, par un point pesant qui se meut verticalement dans l'air et est soumis à une résistance quadratique.
Up ^ 1 I «p X
4. Formules du mouvement descendant et du mouvement ascendant dans le cas d'une résistance cubique.
(de Saint-Germain.)
f>. Mouvement rectiligne d'un point matériel pesant mobile avec frottement sur un plan incliné dans un milieu résistant.
6. Temps et espace pour arriver au point le plus haut (de Vo = 00 à V = o) pour une fonction
F{v) = av%i + bv) == Av2 | g^n^
Rép,
^(3^4 AQ^)T=Log^+^i^^^^^ (^ + arcsln^\f-^^, Q^ ^ ^ ^ ^ BQ» v/(7(3^ + 4AQ^) V^ '^^ BQ^
^,(3^+AQ^)Y=Log:gQl+ ^ '^ - fi^+arcsin^V/^).
où la valeur de Q se déduit de l'équation du 3"^ degré
BQ3 - AQ — ^ = o (de Saint-Robert.)
108 LÈS CAS LIMITES DU PROBtEME BALISTIQUE î
Démontrer que la somme .
Qb ga 1
est égale à une valeur constante quel que soit t^ et quel que soit le sens du mouvement (M. d'Ocagne.)
3. Un point pesant, sans vitesse initiale, tombe dans l'air d'une hauteur h sur un plan horizontal qui le fait rebondir avec sa vitesse d'incidence ; on demande à quelle hauteur ij s'élèvera après le n^ bond, la résistance de l'air étant quadratique ? (M. Walton.)^
Soit /ip la hauteur à laquelle il s'élève après le n^ bond.
Si l'on pose e~ôï^ ==. Up, on trouve la loi de récurrence :
7 . Même problème pour une fonction F(v) = \e^^ et pour le temps T.
On trouve :
dv
mgT = Log ^i + |-j .
(de Saint -Robert.)
I 3. — Développements en séries
77. Développements en séries de Mac-Laurin. — Dans le problème du mouvement vertical figurent trois variables, la vitesse v, l espace parcouru j, le temps t.
Gomme au n® 5 7, on peut prendre pour argument du développement en série une quelconque de ces variables et les associant, obtenir ainsi 6 formules pour le mouvement ascendant et 6 formules pour le mouvement descendant.
Les calculs sont développés ci-dessous dans le cas du mouvement ascendant pour les deux variables y ci t dont on obtiendra d^abord les dérivées successives.
^ = o(cF + <7)F'
^ = -c{cV + g) [cF« + F" (cF + g)] dt I . dH cV + g
' 1 dH cF -4- o
dH cF
df"
:p.\ +cv{cF + g)ivF"-ioV')
On aura ainsi les deux séries suivantes : . ) y=\,t- (cF„ + g)J-+ (cF, + g) cFi ^
- (cF,+3)[cF" (cF, + g) + c-^F;^] 7-^+-
L+i5(cF„+jj^
Si on y fait g =0, on retrouve les formules qui donnent X et i dans le cas du mouvement rectiligne horizon-
** Pour c = o, la première donne y = Vq/ ;- gt- (cas
du vide) et la seconde
/ y I ^ ^' I ^^' y' I '^^' y' I Vo "^ V? i.'2 "^ Vg i.-2.;i"^ VJ i.-2.3.4"^"*
série qui n'est autre que le développement de la formule du vide (59) :
Vo — v/VS — igy
**''Poiu^ le mouvement descendant, il suffira dans les formules ci-dessus de changer g en — g.]
Les quatre autres développements en série sont les suivants :
rP +«V„rcF, + 5)(V<,Fi'-/.Fi) 7^+-
Vo
„- (Vo - V)
(cF„+g)-cV,F^ (V,-t,)^
rcFo + g) (cVoF;' + ■xe¥„) — ■iéY,F'„- ( V„ — vf
(cVo + gf
5) t. = V, - (cF„ + g)t + (cF. + g) c¥, —
- (cFo + g) [cF;'(cFo + ^) + cTi^] -^-^ +... Vo— i^ . cF; (Vo— i^?
^) '- cFo+^+CcFo + s^r
cF;'(cFo + ^) — ic'Y'^ (Vo — î;)«
W + gf
Mouvement ascendant </ a le signe + — descendant g —
Pour ^ = o, on retrouve les formules du n° 58. Pour c = o, on a les formules du vide.
78. Cas de F(v) = BnV". — Les formules 4) et 6) deviennent dans ce cas :
J'=Vo
J VM"o" + 3-
+ r-nj "«'nVS - '
(ft — i)6„V„"— (n+i)sr
Vn
^»-"-+ — n6„Vi;-'
"tnV; + ? ■••^
>fcaVJ -h g
î 4 nfc V-^
