Premier cas. Développement suivant les
puissances de — -^p. < ^
On écrira, pour le mouvement ascendant :
dv I
cdt==
nv) 1+ ^
cF{v)
Développant par la formule du binôme la fraction
en une série convergente, puisque p. .
' ^ c¥(v) il viendra :
cdt = - ^"^
MOUVEMENT VERTICAL DANS UN MILIEU RÉSISTANT Il3
De même, pour j, on aura :
Posons comme définition de deux intégrales : Il Viendra :
ment | c Vc/ \cj
rnt.>y==D-.-fi^-^+(f)^i>-3+-(-K?)^i>-<p-)+-
ii° Pour le mouvement descendant on écrit :
'^'=-Fi^^=-4['+*+(*)'+-+(*)":
On voit ainsi qu'il suffira de changer ^ en — ^ et on aura :
Mouve-(c<==S,+ 2.S,+ f^Vs 3+.- + f-^V S-,p + i,. ment ) c \g I \cj
'danT(«/=D-.+f !>-+(!) ^«^-3+- +(f)^'^-P M.- On remarquera que
S étant la fonction balistique rencontrée dans le mouvement rectiligne horizontal (48).
De même on a D i = D(v) — D(Vo).
Les premiers termes du développement sont donc ceux du mouvement rectiligne horizontal ; les termes suivants qui
Il4 LES CAS LIMITES DU PROBLEME BALISTIQUE
renferment g, introduisent de plus en plus l'influence de la gravité.
Le mouvement descendant qui est représente par les développements ci- dessus est celui qui a lieu suivant la branche
cF(i') iVZ de la courbe (v, cy) du n° 69, puisque > i et par
suite V > v'.
Dans ce cas, on sait que la vitesse décroît toujours jusqu'à la vitesse terminale v'.
81. Exemple. Cas de F(v) = BnV". — Posons : cBji = 6n. On a :
"''' "~ Bp A "^ ~" Bp np—i ^v^P-^ ~" VyP-^J
p^ 1 r^ dv I I r I I "I
"^ '^"'Bp'jvo v^p-i"^ Bj np — -2 L^^P-* "" VS^P-^J
Les formules deviennent alors :
Le signe — doit être pris pour le mouvement ascendant. Le signe + doit être pris pour le mouvement descendant.
82. Deuxième cas. Développement suivant les puissances de c — —^ < i
MOUVEMENT VERTICAL D.OS UN MILIEU RÉSISTANT Il5
1° Pour le mouvement ascendant, on écrira :
gdt =
dv
Développant par la formule du binôme la fraction ^
iH
on une série convergente, puisque — < i, il viendra :
gdt == — dv
De même pour y, on aura :
gdy = — vdv
icYV
... + (-iyi
^FN'i"
Posons comme définitions de deux intégrales
jF^dv
F^dv
et
Il viendra :
Mouve /
^,s,— ^s,+ T S2+- (-OM-Pp
ment y " 9 ' ' \9
ascen- i c . /' c
dant. [9y = ^o
•2° Pour le mouvement descendant, on écrira
d'où :
Mouve-
cF
=^ dv
ment descen-
gi
S,... (,)p(-)"s dant. (,y=-Do--D.(-)D.-... (-x)p(-J D,
Il6 LES CAS LIMITES DU PROBLEME BALISTIQUE
On remarquera que
So = — I "(iv=Vo— V et Do = — rvdv=^(Vl^v^)
Les premiers termes des formules sont ainsi les termes du vidfi. Les termes qui suivent introduisent la résistance de Tair.
Ces développements sont valables de part et d'autre du point S pour les régions de la courbe (v, cy) du n° 69 situées en aval du point de la branche ascendante où la vitesse v' est telle que c¥[v') = g»
83. Problèmes sur le mouvement dans le voisinage du point culminant. — i^ On lance un corps de bas en haut avec une vitesse très faible Vq ; quelle sera la perte de vitesse quil aura subie en retombant à la même altitude y.
Le théorème des forces vives donne immédiatement
OU, en première approximation :
-^ m-r^)=^^ j £vF(v)dv.
c*est-à-dire :
ou encore :
f = Vo+4--^D,(«,V,) ^0 y
Exercice. — a) Retrouver cette formule au moyen du développement donné ci-dessus (S-z).
b) Chercher le second terme dont le coefficient est — . îi° Un corps tombe sans vitesse ; il arrive à un plan situé à
une hauteur h au-dessous de son point de départ au bout d'un temps t. Quel est le retard p = Ô — t quil a subi du fait de la résistance de Vair ?
Si V est la vitesse du projectile dans Tair à l'arrivée au plan h au bout du temps t; si Vq est la vitesse du projectile dans le vide à l'arrivée au plan h, au bout du temps 6, on a, d'après le théorème précèdent :
On a d'ailleurs
g^ — vo Donc :
Vq-] Di(o,Vo)-
et gt^zv—--- Si(o,î;o)
g(^ — 0 == ^0 — V +.'- Si(o,i;o)
c'est-à-dire
I c f Di
84. Cas de F(v) = BnV*. — On a pour les développements du n^ 82 :
Sp = — Bj / t;°Pc/u=BS ^i (V;P + i— u^P + n
^ J\o "" /ip -f- I ^ " ^
Dp.= — BS / v'^^ + 'dv = Bj; \ (V°P-^2 __ ynp + 2\
Posant cBû = 6n, on aura donc :
•■•(-•)My)'';;^(VS''--V"p-)
Il8 LES CAS LIMITES DU PROBLÈME BALISTIQUE
Le signe -|- doit être pris pour le mouvement ascendant. Le signe — doit être pris pour le mouvement descendant.
Le premier problème traité ci-dessus (83) donnera dans
le cas de F(v) = B^ u^
t, = v„ — •^-^^— vs+«,
g n -f- •! ^ Le second donnera pour valeur du retard
I ,ba V
^ 9 9 {^+ OC^H-'-*) ou encore, puisque ^9 = Vq,
85. Mouvement au voisinage de la vitesse terminale. — Supposons que le projectile soit ^arrivé à posséder, dans son mouvement descendant, une vitesse v peu différente en moins ou en plus (Gij) de la vitesse terminale v' et cherchons la forme simple que prennent les équations du mouvement quand on admet cette hypothèse.
Posons donc identiquement
(v' — V) sera, par hypothèse, une petite quantité relativement à laquelle nous effectuerons les développements en série des deux formules du mouvement descendant :
dv vdv
gdt = et gdy =
MOU^'EME^T VERTICAL DANS l"X MILIEU RESISTANT II9
On écrira, pour la première
dv' — V)
dt= —
et comme — F(i''J = i par hypothèse, il viendra
— ; -rr dy— V)
d*où en intégrant, avec l'hypothèse v = Vo pour / = o,
cF/ = Log ''',"'"^' + — li(t,-V,) + ... ^ v' — i' '1 h ^ '
\^ espace s'intégrera d'une manière tout à fait analogue et donnera l'équation :
cFV =^ i^ Log -^^—f- + (-p^ , j iy - V,) +...
Enfin l'élimination de l' entre les deux équations ci-dessus donnera une relation entre y et t qui est la suivante :
y = \ot + (v' — Vo)/
Tels sont les deux premiers termes du développement en série dans le voisinage de la vitesse terminale v'. La dernière équation qui peut s'écrire :
lao
montre que le mouvement est presque uniforme et qu'il
y tend, quand t augmente, avec une allure exponentielle.
Si on construit la courbe fj,/) à partir de l'origine M où la vitesse est Vq, la courbe MZ admettra comme asymptote une droite ayant la direction v' et telle
que MA = — ~ .
On pourrait dans le voisinage de u' partir d'une vitesse Vq > v'. La courbe correspondante sera MZ' avec une
asymptote en A' telle que MA' = -^^ — — .
La courbe (u, cy) qui a été considérée précédemment (69) tend asymptotiquement vers v' par une allure exponentielle, car réduite à son premier terme l'équation de cette courbe est :
Fig. 33
V = v' — (v' — Vo) e
Vf
Fig. 34.
