ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT
I I. — Etablissement des équations
86. Première forme. Deux équations du second ordre. — On sait (6) que dans le problème balistique principal^ on se propose d'étudier le niouvenient d'un point matériel de masse m soumis à Taclion de deux forces : la pesanteur dirigée de haut en bas et la résistance du milieu dirigée suivant la tangente à la trajectoire du point et en sens inverse de la vitesse.
Soient les axes Ox horizontal, Oy
vertical. M est la position du mobile I
au temps /, R est la résistance de Tair,
force exprimée en kilos comme le poids Fig. j:».
p du projectile (loj, t est Tinclinaison
de la tangente MT sur l'horizontale MM'. C'est aussi
l'angle que fait avec l'horizontale la résistance R, qu'on
suppose tangentielle (5).
Ï22 PROPRIETES DES TRAJECTOIRES ATMOSPHERIQUES
En projetant successivement sur les deux axes Ox et Oy, on écrira :
sur l'axe des x : m , , = — R cos t
dr
sur Taxe des y : m ——= — p — R siuT.
Divisons les deux membres de chaque équation par
m ; la quantité — représente l'accélération I due à la
résistance de Tair (lo). Cette accélération ne dépend,
par hypothèse, pour un projectile donné, que de la
vitesse v de translation : elle a pour expression I =
c¥(y)^ formule où c représente le coefficient balistique
. a^l ^ c =^ iÙL — et Y(v) une fonction dont on connaît au
moins une table numérique (ii).
On aura donc pour définir le mouvement principal, les deux équations du second ordre suivantes :
ux d'y
-^ = — cY{v) cos T, ^ = — g — cY{v) sin t.
87. Deuxième forme. Quatre équations du premier ordre. — Les deux équations du deuxième ordre ci-dessus sont équivalentes à quatre équations différentielles du premier ordre qu'on obtiendra très aisément on remarquant que
dx dy
— - = V cos T, — r- = u sm T
dt ' dt
On aura alors :
-^^ — j- — — = — cF(i') cos T
ÉQUATIONS DIFFÉRE:XTIELLES du MOUVEME^îT 123
Les quatre équatians qui viennent d'être écrites peuvent être développées et combinées de plusieurs façons. 1
Ainsi développons les -^ dans les deux dernières ; il Vient :
{ I ) cos T -7 V sin T -7^ == — cP{y) cos t ^^
(2) siuT -^ — |-ucosT-7^ = — g — cF(v)sinT.
Multiplions (i) par siuT et (2) par cost et retranchons (i) de {2) ; il viendra :
(3) __ = ^COST
Multiplions (i) par cost et (2) par siuT et ajoutons; il viendra :
(4) -^ = — 5fsinT— cF(y).
Par Télimination de dt^ les équations (3) et (4) combinées donnent :
Pour discuter et résoudre le problème balistique, on pourra d'ailleurs choisir telle ou telle combinaison de ces équations qu'on voudra et nous aurons plus loin l'occasion d'en utiliser quelques-unes.
ia4 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
