ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOU\'EMENT

89. Équations intrinsèques. — Soit comme au . n* 20, les forces projetées d'une part sur la tangente MT, d'autre part sur la normale MN à la trajectoire au point M ; r est le rayon de T courbure en M. J*f^i

On aura sur la tangente c//

dv .

-Jl = — S^sinT — cF,

î;'- Fig. 36.

et sur la normale — = — a cost.

La première est la relation (4) déjà trouvée. La seconde peut se déduire de l'équation (3) .

— Î-- = — (J cos T de la manière suivante : soient

dt "^

M et M' deux points très voisins ; les normales en

ces points se coupent en I. Comme

"^ MM' = MWt, MM' == vdt et MI = r, il vient vdt = rd-:.

^^^ L équation —j- = — g cos t pourra

^7 donc s'écrire :

Fig. 37. v^

— = — a cos T r *^

ce qui est l'équation intrinsèque sur la normale.

On remarquera que cette équation est indépendante de la résistance de l'air. En projetant sur l'axe des x on obtient une équation qui est indépendante de la seconde force, la gravité ; c'est comme on sait (87) l'équation

d(v cos t) t^

j^ — ^- — cr COST.

dt 90. De l'hodographe . — Parmi toutes les com-

blnaisons possibles des équations différenlielles du premier ordre du problème balistique, la première des quatre équations du n° 88, savoir :

d (v cos t) c ^ , .

— ^ — = = — vb (v)

possède seule l'importante propriété de n'être fonction

que de deux variables, la vitesse v et l'inclinaison t. Son

intérêt particulier résulte du théorème suivant :

, , . , . , „ , . div cos t) c T-. / \

L intégration de l équation ^ , -== — vr [v) per-

met de ramener immédiatement aux quadratures la solution complète du problème balistique.

Supposons en effet qu'on sache intégrer cette équation et exprimer par suite v en fonction de t, sous la forme V = ^(t) ; on substituera cette valeur de v dans les trois autres équations du mouvement (88) qui prendront la forme

dt=^ — Wi-z) — ; dx^— — WWfd-z ; (j ^ ^ cosT g \

La question est ramenée à de simples quadratures ; la solution au moins théorique du problème balistique est complète et tous les éléments se trouvent exprimés en fonction de l'inclinaison t.

La recherche de l'intégrale de l'équation

d(v cos t) c ^ , .

apparaît donc comme le premier pas vers la solution

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du problème balistique ; cette opération effectuée, il restera, il est vrai, à surmonter encore de notables difficultés analytiques, soit pour tirer v ou t de l'intégrale en vue de porter leurs valeurs dans les autres équations différentielles, soit pour intégrer ces dernières. L'équation différentielle

d'V cos t) c ,^, .

— ^ — -, = — vt (v)

est désignée en Balistique sous le nom d équation différentielle de rhodographe.

Remarque. — On peut introduire dans cette équation le rayon de courbure r au lieu de v, puisqu'on a (89)

V = ^/ — gr cos T. On trouve, avec les deux variables r et t, l'équation dilîércntielle

"5^ "" fj cos z t^^ '''' '' + ^^'^^ (v/— (/rcosT)].

91. Génération de Thodographe. — On appelle en général hodographe ou courbe que décrit la vitesse une courbe engendrée comme il suit :

par le point fixe 0, on mène à chaque instant un vecteur 011 parallèle à la ^ tangente à la trajectoire, c'est-à-dire faisant un angle t avec une droite horizontale Ox ; on prend sur le vecteur une longueur on proportionnelle à la vitesse du point matériel sur la trajectoire ; le point H décrit ainsi une courbe polaire PQ qui est Vhodographe,

Il s'agit de démontrer que, dans le cas du problème balistique, l'hodographe qui vient d'être défini

admet bien pour .équation différentielle, la relation

div COSt) C T^r \

di g ^

Soient deux rayons vecteurs OH et OK infiniment voisins, de longueurs v et u + c?u et faisant avec l'axe Ox

des angles t et t — d-z.

Le segment HK de Thodographe représente donc en grandeur et en direction l'accroissement de la vi- -a; tesse V du projectile pendant le ^ F' 3^ ' temps dt. Si G est l'accélération

totale du mobile, c'est-à-dire une

quantité telle que G = -j- , on aura HK == Gdt,

Mais on sait que l'accélération totale G qui agit sur le projectile est la résultante : i^ delà gravité g qui agit suivant la verticale ; 2® de V accélération de la résistance de Pair cF(v) qui agit suivant la direction de la tangente, en sens inverse de la vitesse.

Or le segment AK a la direction de la gravité, le segment AH a la direction de la résistance de l'air ; comme HK est leur résultante en grandeur et en direction, on aura :

AK = gdt et AH = — cF{v]dt,

Si Kl est perpendiculaire sur OH, on a Kl = KA cos x et comme Kl = vc?t, il viendra

vd'z = — g cos T dt.

D'autre part, si hk est la projection du segment HK