Cas particuliers de Thodographe. — i*" Dans
le vide Vhodographe est une verticale. — Car si c = o, l'équation de rhodographe donne d{v cos t) = o, d'où v cosT = const. C'est la propriété bien connue de la constance de la vitesse horizontale (17)*. L'hodographe est la verticale H H' H^' située à une distance OH' = Vq cos a de l'origine .
'2° Dans le cas du mouvement rectiligne^ Vhodographe est une droite passant par V origine. — Car si ^ = o, on doit avoir dx = o, d'où t = const. = a. L'hodographe est le vecteur d'inclinaison a passant par l'origine.
3° Dans le cas d'une résistance proportionnelle à là simple
vitesse, Vhodographe est une ligne droite. — Soit H un point de l'hodographe. Pour ^ obtenir la tangente en H, on a vu 9 1 ) qu'il fallait prendre HA = cFdt et AK = gdt. Dans le cas actuel, on a F{v) = B^v et Fig. 4 r . cBi =bi] on écrira donc HA = bj^vdt.
Soit L le point où la tangente HK rencontre la verticale du point 0. On aura :
OL OH 1 7ÏK ~' JIÎ ~ b,dt
d'où : OL = #-
Le point L est donc un point fixe et par suite l'hodographe est la droite HL elle-même.
l3o PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
93. Équation du C^ Jacob. — 1° Nous avons dit que réquation diflerenlielle de l'hodographe était la seule, du premier ordre, entre les variables du problème balistique qui fut fonction seulement de deux variables v et t.
Mais il peut exister des équations différentielles d'ordre supérieur au premier n'ayant également que deux variables. Le colonel Jacob a fait connaître une de ces équations qui est particulièrement remarquable : On peut former une équation différentielle du second ordre du problème balistique ne renfermant que les variables v et y, et se ramenant à deux équations du premier ordre.
2° Pour établir cette équation, il suffit d'éliminer la variable t entre les deux équations :
d{y cos t) c
vF et dy = tg t rfr.
Développant chacune d'elles, on aura :
COS -z dv — V sin 'z d'z = — v¥dx
g cos T dy + v^ sin t r/T = o.
On aperçoit de suite la raison de la réussite de ce calcul dans la forme des premiers membres des écpialions ; en multipliant la première équation par 15 et en
ajoutant on obtiendra la valeur de "- — sous la forme :
'' cos T
cos
ÉQUATIONS DIFFÉRE^iTIELLES DU MOUVEMENT l3l
On pourra donc, en portant cette valeur dans la deuxième , en tirer la valeur de sin t qui est :
vdv + qdy crdy
Nous poserons :
dv et l'expression de sin t deviendra :
sm-:
^' -+- gy'v
3° Considérons maintenant les équations simultanées qui peuvent remplacer. les deux premières, savoir :
q cos ' dy A- v^ sin t rf-u = o et sin t = . ' . •
\ i' 4- gy',
entre lesquelles il s'agit d'éliminer t. Ecrivons identiquement la première :
(j cos^ 1 dy -\-v^ sin t cos t rf-: = o ou :
q I — sm Tj —,- — h ^^ sm t — j
Or, la seconde équation donne sin t en fonction de
jy et V et, en la différentiant, on aura — -, — ^en fonction
des mêmes variables ; en substituant les valeurs ainsi trouvées dans Téquation en sin t et d sin t, on éliminera T et le problème sera résolu.
l3a PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
On trouve ainsi l'équation :
9vv:+9V.'[{^^y-''
gyv' + vyl +(-|) ^'==o
C'est l'équalion du second ordre cherchée. On doit remarquer quelle rCest plus que du premier ordre si on prend comme variable la dérivée :
dy
yv =
dv
Si on suppose Téquation différentielle résolue, c'està-dire y connu en fonction de r, les autres éléments de la trajectoire s'obtiendront par les formules suivantes :
cFy'„
SlUT
- ; a; = r J1 dv; t=. r^^dv;
Les deux dernières résultent immédiatement des formules
dy == tg T dx et dy = v sin t dt.
94. Équations différentielles en coordonnées obliques. — Il est utile, pour certaines questions de Balistique, de rapporter le mouvement à des axes obliques qui sont : 1° la tangente Oz à l'origine de la trajectoire ; la coordonnée sera V éloignement du projectile suivant cette ligne au temps i\ 2° la verticale Oy passant par l'origine ; les y seront comptés positivement dans le sens où agit la pesanteur ; ils représenteront donc
ÉQUATIONS DIFFERE>îTIELLES DU MOUVEMENT l33
V abaissement du projectile au temps t au-dessous de la ligne de projection Oz.
Soient M la position du projectile au temps t^ g la gravité, cF Taccélération de la résistance agissant en sens inverse de la vitesse v,
ils est un petit arc de trajectoire, dz sa projection oblique sur Oz, rfy sa projection • pj oblique sur Oy.
Les composantes de la résistance cF suivant les axes
seront :
dz cF dz
suivant Oz cF -7^ et comme ds = vdt ~ .
as V dt
dy cF d\
suivant Oy cF -,- — ^,7 .
as V at
On a donc pour les équations différentielles du mouvement :
^ dh c¥ dz
suivant Uz
dt' V dt
. ^ „ d'y cV dy suivant Oy ^ = i/ ^---.
Nous allons, comme il a été liiit précédemment dans le cas des axes rectangulaires, remplacer ces deux équations du second ordre par quatre équations du premier ordre.
Éliminant d'abord — entre les deux équations, on a :
. d'y dz d'Z dy dz
^'^ IF 'dt '' IF lit ^ 'J ~dt'
l34 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
Posons maintenant
dz
= t\ ; v^ est la vitesse du projectile projetée sur Oz
suivant la verticale
— ^ = /> ; P est une quantité qui mesure Tangle de
la trajectoire avec Oz au point M ; /) a
la valeur o au point 0.
Écrivant -y- = p -r- et différentiant, il viendra :
at ^ dt
d'y dp dz d^z
'dF^^dF'dt'^ ^IF
et en combinant avec ( i ) il vient :
dp =z-^d.
-, , . d'z cF dz et, d autre part, en combinant avec -^ = -j-
on aura :
v^ cF
di\ = — dp,
Cette dernière équation ne renferme en réalité que deux variables, car v peut s'exprimer en fonction de i\ et de p comme il suit :
^ Dans le triangle AMC on a :
K^ MG=ÂC'+ÂM'— 2AC.AMcosMAC;
-^ or MG= (/5;AC= c?y; AM = c?z;
Fig. 43. MAC = -^— a
On a donc : ds = dy -^ dz — 2cfy dz sin a
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT l35
OU en divisant par dz '.
Mais -r- = — .
dz i\
On a donc :
i^ = Vjj [ I -\- p^ — 2/) sin a] ^
V est ainsi fonction de v^ et de p.
On pourra adopter pour la solution du problème
balistique les quatre équations différentielles du premier
ordre qui suivent où'u = v^[i -+■ p^ — 2/) sin a]dv. = dp: dz ='-^dp :
dt = ^dp; dy =^pdp
Ces équations correspondent une à une aux équations du n° 88 dans le cas des axes rectangulaires et il est très facile de passer de celles-ci aux autres quand on fait sin a = 0 et p ^ tg T ; t\ devient la vitesse horizontale a.
n j» 11 ^^'^(^ — '^) Un a d ailleurs p = ^^ .
'■ COST
La première équation correspond à l'hodographe ; elle n'est fonction que de deux variables v^ et p et son intégration permettrait de ramener le problème aux quadratures.
l36 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
I 2. — Problème balistique inverse
95 . Théorème . — Si on se donne a priori une relation finie entre deux quelconques des éléments du mouvement en un point quelconque de la trajectoire^ savoir a?, 3% i', / et T, on peut calculer les trois autres^ sans quil y ait besoin de connaître la résistance de lair^ c est-à-dire la fonction F.
Cela résulte de ce qu'une des deux équations intrinsèques de la trajectoire (89) ne renferme pas la résistance de Tair supposée tangentielle ; c'est l'équation
— = — q cos'T.
Cette équation fournit donc une seconde relation entre les quatre éléments Xj y (compris dans le rayon de courbure r), f et 7.
On a d'ailleurs en plus :
dx dy . vdx
— ucost; -j-=ysmT; — -y— = — ^ cos
dt ' dt ' dt
c'est-à-dire en tout cinq équations entre cinq inconnues ; aucune des équations ne renferme la fonction F .
