ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT
formule y = f[x)y avec une approximation plus ou moins grande.
Le problème balistique inverse consistera tout d'abord à obtenir les valeurs des autres éléments î;,t, t aux points a?, y et le théorème précédent démontre que la solution en sera toujours possible.
Mais il sera possible également au moyen des valeurs
calculées de les porter dans l'équation de l'hodographe
divco^-z) c ^ .11. -1,
— ^^ — j = — ur* , et par suite de determmer 1 expres-
di g "^
sion de la fonction F, seule inconnue de cette équation ; la fonction ainsi déterminée représente la loi de résistance de l'air qu'il aurait fallu admettre pour que la trajectoire soit justement représentée par la fonction y z=f'[x).
Si on choisit y = f{x) arbitrairement, c'est-à-dire en dehors des quelques formes que l'on obtient par une intégration rigoureuse des équations différentielles où la fonction F(y) affecte une forme particulière, on trouvera par la solution du problème balistique inverse une expression de F qui ne sera pas uniquement fonction de la vitesse de translation t^ ; il y entrera des constantes définissant l'origine de la trajectoire V^, et a.
On aura ainsi altéré la loi de résistance de l'air expérimentale et, au degré plus ou moins grand de cette altération, on pourra juger du degré d'approximation que l'équation y = f(^x) comporte et des hypothèses que son adoption entraîne.
Au lieu de la relation y = f(^x), on peut se donner une relation entre deux autres éléments, ainsi qu'il a été dit précédemment, par exemple, tg t = '>p(/) ou cos T = ^(v), etc.
l38 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
97. Premier problème balistique inverse. On se donne la trajectoire. — Soity=f{x) réquation donnée de la trajectoire.
Désignons par y', y" et y"^ les dérivées successives de y par rapport k x,
1^ On aura tout d'abord pour V inclinaison z
tg T = /, ce qui peut s'écrire :
COS 7
1^ En difFérentiant l'équation qui donne tgT, on aura — = yWx. Mais on a (88)
COS
v^ COS*' X drz
g cos^T
d-z Eliminant ^ — , il viendra pour l'expression de la
COS T
vitesse v au point x^ y :
^= — 9 y/ ■ La vitesse horizontale u sera donnée par la relation :
dx 3^ Comme -7— = a, on aura pour le temps t^ l'équa-
, • ui
tion : .
^ dx
4° Enfin la fonction F de la résistance se calculera comme il suit :
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT iSg
Différen liant la relation (--7- 1 = ^T^
d'oc Qy on obtient : -7-7- = -^
dt iy
Mais, comme la première équation différentielle du mouvement (8()) est :
dt et que cos x
j- = — cF cos 7,
il viendra : cF = 2Z__ ^ i ^ y^
iy
Remarquons d'autre part que v' = g^ - — -
r fit'
et que cos^ t === ^ i -|- y'^^ ^ ^
On voit qu'on peut mettre l'accélération cF sous la
forme : cF = — — — f* cos^x.
Le problème balistique inverse est ainsi complètement résolu à l'aide de différentiations, à l'exception de l'expression de t qui exige une intégration .
98. Application à la trajectoire de Piton-Bressant. — La trajectoire de Piton-Bressant est la suivante :
y == xtg a vf "^ , [i + KVgx]
K étant un coefficient constant.
l4o PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
On calcule immédiatement
y =tga —
gx
VJ cos^ a
I + — KVlx
V;5 cos^a ^ " -■
3^K cos^ a
En employant les formules du numéro précédent, on obtient aisément :
inclinaison en fonction de a? ;
vitesse horizontale en fonction de x ;
[i +3KVJx] 2— I
'2 mJ = —
9 KVJ
femps en fonction de x ;
4° résistance de Vair.
3 ,^ v^cos't
cl = — K —
2 cos^ a
On voit que la résistance de l'air ne dépend pas seulement, en un point, de la vitesse v, mais aussi de l'inclinaison T, et de l'inclinaison a à l'origine. On pourrait exprimer cos X en fonction de u, ce qui introduirait une fonction de a et de Vo dans l'expression de cF.
La trajectoire de Pi ton-Bressan t altère donc la loi de résistance ; dans le cas de x et a assez petits pour que les deux cosinus soient sensiblement égaux à l'unité, l'équation de Piton-
Dressant suppose une résistance cF = — Ku^, c'est-à-dire biquadratique.
EQUATIONS DIFFERE>TIELLES DU MOUVEMENT
