Application à une trajectoire hyperbolique
— On a souvent proposé depuis Newton, qui indiqua le premier les analogies des deux courbes, d'assimiler la courbe balistique à une hyperbole dont une asymptote serait verticale et qui aurait pour équation
6 ax — X'
tga
a et 6 étant des constantes.
On calculera
a ^ ' {b — xf ^
^ tffa
r'ff
a {b—xY
On en déduira :
tg^
(6 - xy J
tga
inclinaison en fonction de x ;
ga(b — x)-
•ib'ib — a) tg a vitesse horizontale en fonction de x ;
i=-r ( r— 0 \/'^—{b — a)igoi
b \(5 ^f- / ^ ag ^
temps en fonction de x.
4° Pour calculer la résistance de Vair, on écrira :
ig cos T
I4a PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
Remplaçant j"' et u^ par leurs valeurs, puis (6 — xy par sa valeur en fonction de tgT, on arrivera aisément à l'expression
4 (6 tg a — a tg x) cos t
L'expression de cF ne contient donc pas v explicitement ; elle dépend de l'inclinaison actuelle t, de l'inclinaison initiale a et des deux constantes a et fe. Celles-ci ne sont d'ailleurs pas indépendantes, car à lorigine, on a
ui = —T—^—T- — dou 1-=^^""^
•i(^b — a) tg a a b Vu sin la
On pourrait remplacer dans cF, cos t et tg x par leurs expressions en fonction de v, mais cF contiendfra toujours, outre cette variable, les constantes a et V© de l'origine.
ICO. Exercices. — i° Étant donnée la trajectoire du 4^ degré
qx^ I . ^ ^' \
(a étant une constante) résoudre les problèmes analogues à ceux du n° 98 pour la trajectoire de Piton -Bressan t. Montrer que la résistance de l'air que suppose cette équation est de la forme
„ 3 v^ cos^ X cF = — a
1 Vq cos a •2° Étant donnée la trajectoire du 4® degré
y=xtga- .^ vf!os^, (' + «^ + f>x') (a et 6 étant des constantes),
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT l43
montrer que la résistance de Tair a pour expression
3° L'équation différentielle de la trajectoire est la suivante : Si cY(v) = 6iV\ elle se réduit à
ICI. Deuxième problème balistique inverse. On se donne l'hodographe. — Si on se donne V = ^""(t), les autres éléments seront fournis (90) par les équations :
g ^ ' cosT 9
dy= ^'(t) tgxrfr
L'hodographe ^ , — - = — vF
étant développé sous la forme
cF . COST dv
= sm T 7-
2 va-:
on voit que la fonction F sera déterminée par la relation
cF . W^'z)
•- = sm T T^TT-f cos T
l44 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
qui en général contiendra dans le second membre les données à l'origine V^ et a, parce que l'expression V = ^(t) les contient elle-même.
a) Prenons comme premier exemple rinlégralc de l'hodographe sous la lorme cos t = /i"u" ; h^ est une constante qui est telle que cos a = /l'^Vf .
On a — sin t = nh^v^~^
cF
et par suite la valeur de est :
dz
cF n-\-i I ;
— = — ' Vi — (/iv)-'^
ou
cos- X
1^ Faisons n == '2. On aura cos t = /i-v^ ; mais l'équation intrinsèque de la trajectoire (8())
fait voir que
— = — q cos T
(jh^
c'est à-dire qu'ici r est constant. La trajectoire sera donc une circonférence, si la résistance de l'air est telle que :
— = — \ I — T^ cos- a
cF •2® Faisons n = — i ; on trouve — = o ; c'est bien le cas
du vide, puisque Thypotlicse /i = — i revient à poser V cos T == constante.
EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU MOUVEMENT l45
6) Comme deuxième exemple, cherchons quelle loi de résistance suppose 1 intégrale de Thodographe :
V cos (6 -(- "i^) = Ç, 6 et 9 étant des constantes. On a, dans la formule générale : W(t) =
cos (6 + t)
^ ^ cos^ (6 + V
Donc l'expression
cF . Wf{x)
= Sin T ÏTTTT cos T
devient :
cF . sin (G + t) sin 6
sm T -X — ^ — r cos t —
g cos (G + t) cos (0 -\- t)
cF
Par suite :
H-^rh
La résistance est proportionnelle à la simple vitesse. On arrive directement à ce résultat en remarquant que l'équation v cos (6 -j- t) = ç représente une droite (<J'^)-
c) Comme troisième exemple, chercher la loi de résistance qui donnerait comme hodographe une conique rapportée à son foyer.
La conique ayant l'équation :
' i -\- e cos (8 -j- 'f)
(a, e et 6 sont des constantes) on trouve :
cl* V
= — (sin T — e sin 0)
