CHAPITRE V
I I. — Etude de l'hodographe
102. Objet du chapitre. — Quand on suppose, conformément aux hypothèses faites pour Tétabhssement des équations diflerentielles du mouvement principal, que la résistance de l'air est tangentielle et qu'elle ne dépend que de la vitesse de translation du centre de gravité du projectile, on peut démontrer un certain nombre de propriétés qui appartiennent à toute trajectoire, quelle que soit la loi de résistance de l'air.
Ces propriétés résultent de la discussion directe des équations différentielles du mouvement (88)
V d'z v^ (2) dt = , (4) dy=2 tgTrfr.
^ ^ ^r COST \^^ J g G
Un certain nombre des théorèmes généraux de la Balistique Extérieure, qui résultent de cette discussion, sont dus à de Saint-Robert qui les a publiés au tome I (Balistique) de ses Mémoires scientifiques (1872).
« On sait bien que la résistance est une fonction de la vitesse ; mais la seule chose qu'on puisse admettre a priori sur la nature de cette fonction est qu'elle va en croissant avec les valeurs croissantes de la variable. C'est pourquoi, sans adopter aucune hypothèse spéciale sur la résistance du milieu, il serait utile de discuter la trajectoire lorsqu'on suppose seulement que la forme de la fonction qui exprime la résistance en fonction de la vitesse, est telle qu'elle croît progressivement avec la variable et qu'elle converge vers l'infini en même temps que celle-ci. » (de Saint-Robert, t. I, p. 68.)
On admettra donc que Taccélération cF(y) de la résistance de l'air est une fonction continue de la vitesse telle qu'on ait :
F\v) > o, F(qo ) = 00 .
Pour V = o, on peut avoir cF(o) > ^ ou cF(o) = g ou cF(o) < (f c'est-à-dire que la résistance peut être telle que, pour une vitesse infiniment petite* sa valeur soit plus grande que le poids du projectile, ou égale à celui-ci, ou plus faible que lui. Dans le cas où la résistance ne contient pas de terme de frottement, on a. F(o) = o.
io3. Équation et tangente de rhodogrraphe. —
La discussion de l'hodographe, d'après son équation différentielle, constitue l'introduction naturelle à l'étude des propriétés générales de la trajectoire, de même que son intégration constitue le premier pas pour obtenir la solution du problème balistique.
L'hodographe est une courbe exprimée en coor-
l48 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSTHÉRIQUES
données polaires (y,^) par Téquation différentielle
d(v cos t) c ^
— ^ — , ^ == — • vF
que nous prendrons ici sous la forme développée
dv^ V / cF . \
Étant donnée une courbe en coordonnées polaires (v, t), la tangente en un point est déterminée par la
valeur de Fangle I qui est tel que : tg I =
dv
On a donc, dans le cas de l'hodographc :
q cos T tir I = ^ .
^ cF -t- gf siuT
On sait (91) que Ton construit géométriquement la tangente en II à l'hodographe en prenant HA = cF et AK = </, et en joignant HK.
104. Théorème I. — Pour v =co , [angle 'z prend une valeur différente de ± — .
Écrivons l'équation différentielle de l'hodographe sous
la forme
g dv d'z
= — — (i +-|rsinT) cosT \ cr" /
et intégrons à partir d'un point quelconque (Yy, a),
THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE l49
OÙ V^, soit déjà très grand, jusqu'au point t oùî; deviendra infini. On a
• gdv /*« / jf sin T \ di
c X l'F ~X \ cF J
o sm T Mais le rapport -^ — — - ne devient jamais infini dans
les limites de Tintégration ; prenons donc une constante h comme valeur moyenne du terme ( i + j^ — ) .
On aura :
(■> Tf^-'X
gdv , /*« cfx
COST
Or le premier membre de cette égalité reste toujours fini. Répétant, en effet, le raisonnement fait au n° 5i, posons, pour les très grandes valeurs de v :
F(v) = d"' [a'' -\- b'^(v)] , /i' étant un exposant tel que v~**'F(v) ait une valeur finie pour i; == oo ; la fonction ^(v) tend par conséquent vers zéro.
On aura ainsi, à la limite
X^' gdv r^" gdv
c'est-à-dire une quantité finie si n! > o.
Or, si le premier membre de Tintégrale ( i ) conserve une valeur finie, il en est de même du second qui, intégré, donne :
-/,Logtg(|+^)+ALogtg(^ + |).
L'angle t ne pourra donc prendre ni la valeur -| ,
l5o PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
ni la valeur qui rendraient l'une et l'autre infini
le terme h Log tg ( -7- H — - ) .
Pour y = 00, r angle t a donc une limite que nous désignerons par 0 et qui est différente de -\ et de .
[La (démonstration est en défaut si /i' = o, c'est-àdire si la fonction F se réduit à une constante. On peut
avoir 6 = zh — dans cette hypothèse spéciale].
Faisons, dans le cas général, pour fixer les idées, a = O5 on aura :
J^Vo
S±.=.-hLogtgl^j + ^
Le preinier membre tend, pour v = 00 , vers une limite finie M . Or il existe deux valeurs de t telles que
ij^i) '-'•
tg f-:--| I ait une même valeur e T. Ces deux
valeurs difierent de ii. Donc si 0 est l'angle limite défini plus haut, l'angle (0 + 7t) sera un second angle correspondant à une vitesse infinie. Les deux directions ainsi définies sont opposées.
io5. Théorème II. — Pour t = Aa vitesse v
tend vers une limite v' telle que cY{v') == g. Ecrivons l'hodographe
dv /cF . . \ d-z
sm T
V \ a J cosT
Comme, d'après le théorème précédent, v ne devient jamais infini, dans cette région, on pourra entre a très
THÉORÈMES GENERAUX DE LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE l5l
voisin de et , remplacer l — - -f- sin-w) par
une valeur moyenne k. , ,
Intégrant alors Téquation — = k — "— , on aura
^ V COST
Mais ( -7 "I ] t pour •z--=— , devient égal à zéro ;
comme, d'après le théorème précédent, v ne peut devenir infini, il faut que k soit nul ou positif. Mais cette dernière hypothèse est en général impossible, car v serait nul ; le projectile s'arrêterait donc, sollicité cependant par la gravité^ la résistance F(t') devenant nulle. Cette circonstance étant impossible, on en conclut que k tend
vers zéro, ou que ( + sin t) tend vers zéro ; comme
sin ': = ' — I , on voit que la vitesse v tend vers une limite v' telle que cY{y') = ^. La vitesse v' est la vitesse terminale déjà rencontrée (67).
Cas de cF(o) ^ g. La démonstration précédente est en défaut lorsque, pour une vitesse nulle, il existe dans l'expression de la résistance un terme de frottement constant, dont la grandeur devient égale ou supérieure à celle de la gravité g. Alors la vitesse terminale devient nulle. C'est le cas représenté par cF^ ^^^ g.
Dans le cas d'un terme constant dans la résistance, mais tel que cF^ < g^ la démonstration subsiste et la vitesse terminale est égale à v' , vitesse telle que cF {y') = g .
iSa PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
io6. Théorème III. — La vitesse du projectile passe par un minimum pour un angle négatif donné par Féqua^ tion
— i^ — <- + sin T^ = G.
Suivons les variations de la vitesse v depuis la valeur oo qu^elle admet pour x = 6 jusqu'à la valeur v' qui correspond à T = — — .
i" Tant que sin t sera positif, le deuxième membre de la relation -y- =^ { 1- sin t ) sera positif ;
«T COST \ g I
dv et dx seront de même signe et la vitesse v décroîtra. Par suite, sur la branche ascendante de la trajectoire où T est toujours positif, la vitesse v décroîtra depuis Torigine (a, V^) jusqu'au sommet de la trajectoire où t = o et V = Vg.
2® Au delà du sommet, t devient négatif et il en est de même de sin t ; sin t est donc une quantité négative qui augmente (en valeur absolue) à partir du sommet où elle a la valeur zéro. A ce sommet, la vitesse étant Vg, la résistante cF(Vs) qui est nécessairement positive est plus grande que sin t. Par suite, sur un petit parcours tout au moins, cF(v) sera plus grand que sin t qui part
de zéro ; --7- restera positif et v continuera à décroître
une fois le sommet franchi.
cF décroîtra avec r, tandis que siuT augmentera en valeur absolue. Il arrivera donc un moment où, pour un certain point défini par la vitesse v
THEOREMES GÉNÉRAUX DE LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE i'ï3
ot par rinclinalson T,n de la tangente, on aura :
(j sin T^ + cF(v„) = o
dv et par suite —j- = o.
C'est la condition d'un maximum ou d'un nlinim^m de V.
3** D'après le raisonnement qui a été fait, il s'agit évidemment d'un minimum. On peut d'ailleurs vérifier analytiquement le fait ; en différentiant l'équation qui
, dv
donne -,- , on aura :
d*v I dvfcY . cvY'\ f /cF . \ sinx
1+ hsmT -
, .^ — jtI t-smT-f- ]-\-v
«T cosTaTX g g /
\g J cosH
qui, au point (t'm,Tn,) où -7-= o, donne
C'est une quantité essentiellement positive ; il s'agit donc bien d'un minimum de vitesse. Ce minimum est
d'ailleurs unique, car -j-^ ne peut changer de signe pour
^'^. dv une valeur qui annulerait -7- = o .
4** La vitesse u^ minimum est nécessairement plus petite que la vitesse terminale v' puisqu'on a :
— ^^ — - = — sin ': et — ^—^ = i .
A partir du poin! ^ï\„,v,„), cF croît de même que sin t,
yom
l54 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES uV
sans que -7— puisse, ainsi qu'il a été dit, s'annuler de nouveau.
Lorsqile t ^ , la vitesse v deviendra égale à la
vitesse terminale v'.
107. Discussion. — En vue de discuter les conditions d'existence du minimum de v, considérons les deux équations auxquelles y,n et t^ doivent satisfaire simultanément :
g sin Tjn + cF(i»m) = o
d'une part, et Thodograplie de l'autre, qu'on écrira :
dlvcosz) cF d-:
V cos T g cos T
Intégrons cette équation différentielle à partir du sommet (Vs, o) jusqu'au point de vitesse minimum (i',„, t^). Il viendra :
T t».nCOSTm /''^m cF cfl
Log — =/ .
Vs Jq g cosT
cF
Entre V^ et Vm, la vitesse v diminue ; le rapport conserve toujours une valeur finie. Soit k une valeur mo venue de ce rapport entre ses deux valeurs extrêmes. On sait que l'intégrale pourra s'écrire :
.^COST.„^.p.A- .
V s Jo COS T
et comme on a
on aura :
THÉORÈMES GÉ^îÉR.iUX DE LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE l55
OU bien :
Vs
TT . Tm
*Mt+ ,
COSTni
ce qu'on peut écrire * :
I Vm = Vs(l siuTm)-^ COS^-^Tm.
Les deux relations qui définissent le point (v^, Xm), savoir :
(a) g sin t^^ -f- cF (vm) = o, condition du minimum,
(P) Vm = Vs (i — sin Tm)"^ cos^~^ Tm, intégrale de Tho-
dographe, doivent être compatibles.
a) Supposons Tm = o. L'équation (a) exige ou c = o ou
Fli'm) = o. .
Si c = o, on est dans le cas du vide ; la seconde équation donne Um = V^. Le minimum de vitesse a lieu au sommet de la trajectoire.
Si F(vni) = o, il en résulte que v^ = o (^ moins que la résistance F(i») ne contienne une constante, auquel cas u,„ ne peut être égal à zéro). Si ^m = o la deuxième relation, où on fait Tj^ = o, donne Yg = o. La vitesse au sommet étant nulle, on se trouve dans le cas du mouvement vertical ascendant.
b) Supposons T,n = '—. L'équation (a) donne alors
^ On a, en effet : tg 1 ) zz: , puisque Ig — =: i .
^ i-tg-
Mais Igl. ==\^l
