COST I COS
-j- COS z sin z
^ /tz , z\ sinx + (i — cost) [sinx + i — cosxl-
Donc : tg ---\ ]z=-. '- {=-—> 7 h
\4 "^ ) sinx — (i — cosx) sm^x — (i — cosx)-*
(i — cosx) [2 -f- 2 sin xj I -f-sinx cosx
2(1 — COS x) COS X COS X I — sin x
l56 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
cF(v )
— i-2î^ = I . Comme V» > Vn,, puisque v diminue à partir
g . cF(Vs)
du sommet, on a — ^— ^ > i et par suite k > i puisque k
est une valeur moyenne entre — ^ — - et — ^ — - .
Mais si /c > i , le second membre de Téquation (P) pour sin Tm = — I, devient — r- Vg cos^~^ Tm c'est-à-dire zéro, | puisque x^ := —.
On aura donc Vq, = o, ce qui est incompatible avec — i-5îz= I à moins que i* c = oo, si F(i;) = o (mouvement
impossible) ou que 2^ la résistance ne contienne un ternie
cY(o) constant ¥(v) = a + 'K^) *^^ ^^^ — ^^ ^ i .
En résumé j dans la trajectoire atmosphérique, le minimum de la vitesse se trouve sur la branche descendante en un point (vm,'Cm) qui n'est, en général, ni le sommet, ni l'extrémité verticale de cette branche. Ce minimum satisfait à la condition
g sin x„ -|- cF(i;n,) = o.
108. Tangentes en différents points de Thodographe. — De l'équation établie précédemment (io3).
£COST
^ cF+5^sint'
on déduit immédiatement les propriétés qui suivent.
a) Pour y = 00 , on a cF = 00, donc I = o. L'hodographe a pour direction limite à Tinfini une droite faisant un angle S avec Thorizontale et passant par Torigine.
b) D'après ce qui a été démontré précédemment (io4) pour un angle (ti -|- 0), on a encore v = 00 ; la courbe
THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE l57
a donc un point à T infini dans la direction directement opposée à la première.
c) Au sommet de la trajectoire où x = o et u = V^,
^^ ^ tg I = -^^
cF(V3)
ou encorç tg I = ^\r\' ^ puisque — ^-^ = i
c?) La tangente au point situé en amont du point de vitesse minimum et où la vitesse est égale à la vitesse
terminale v\ va passer par le point ( , v'\ de Tho-
dographe, car
^ COST T ^ '^ { \ tgl== -—: dou I = — (107)
^ I + sin T 4 2 ^ ' ^
e) Au point de vitesse minimum, le dénominateur s'annule ; tg I devient infini et par suite le rayon vecteur est normal à Thodographe.
/) Au point ( — --• , î^' 1 , tg I se présente sous la forme —
puisq[ue cos t = o et sm t = — i , avec — ^— ^ = i .
Cherchons la vraie valeur en prenant la dérivée des
, , \ dv cF+osinx
deux termes du rapport =— = ;
V dx g cos T
on a : ^-,,1. dv
, cb'lim. -7 — h^cosT
I 1 • (Jiv ClZ -y lim. -7-= :
V dx — g sm t
et cette expression, au point ( ,v'j se réduit à
i ,. dv cF' ,. dv —7- lim. -y- = lim.
v' ' dx g ' d-z
l58 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
Cette équation ne peut être satisfaite que par l'une ou l'autre des hypothèses suivantes :
dv ,. dv I cF'
lim. — 7— = o, lim. -7- = 00, -7-= .
ar «T V g
Dans ce dernier cas, comme au point ( ,v')
. cF , . ^ ^ \
on a aussi = i, on en déduit F = v'F\ ce qui
exige que dans le voisinage de la vitesse terminale v', la résistance soit proportionnelle à la première puissance de la vitesse.
On sait que, dans ce cas (92), Thodographc est une droite inclinée sur la verticale, dont la direction dépend des conditions initiales du mouvement.
g) Pour la discussion des deux autres cas où -j- a pour
limite soit zéro, soit l'infini, nous procéderons au calcul qui suit. , V ^
Au voisinage du point ( — — , vM , posons t = — — + ft
et V z=z v^ — £. L'équation de l'hodographe développée
dv . c ^
cos T -7 V sin T = — vt .
pourra s'écrire alors, en remplaçant cost par 9 et sinr par — I :
Développant F par la formule de Taylor et remarquant
c vF'
que — F(^') = I, et que — =r- = n, il viendra :
^ = n i- d'où s = a6", a étant une constante.
Donc la tangente au point ( ,v'j aura pour
expression
Par suite, n étant Texposant représentatif de la fonction F(v) au voisinage de v = v\ la tangente à
l'hodographe au point f -^v'
si
est horizontale.
est inclinée.
est verticale.
109. Points d'inflexion de Thodographe. — Dans une courbe en coordonnées polaires /(r,T)= o, le rayon de courbure est défini par la relation :
dv
dv\^ d^v
d-z ) dx^
et les points d'inflexion seront déterminés :
I® Par les valeurs qui rendent -7— infini ; en effet -7-
figure au numérateur à la puissance 3 et au dénominateur à la puissance 2 seulement.
1^ Par les valeurs qui rendent v infini, et pour la même raison.
3° Enfin parles valeurs qui annulent le dénominateur.
d'v En tenant compte de la valeur de -j-^ calculée au
n^ 106, le dénominateur prend la forme
