F F) f sin T + - f) — V

(J ^ ^ \ (J I cos^'t

et cette quantité s'annule :

l6o PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES

a) Si c.= G {cas du vide); l'hodographe est en e£fet une verticale, présentant un point d'inflexion continu.

b) Si {vF' — F = g) , c'est-à-dire chaque fois que la courbe passe par un point de la fonction F(i;) où celle-ci devient proportionnelle à la simple vitesse.

c) Si (sinTH = g] , c'est-à-dire aux points de

vitesse minimum de l'hodographe.

d) Au point f , v'j l'expression se présente sous

. , G / . cF\ I

la forme indéterminée— par le facteur ( sin x + ~ ) ■^j-

G ^ \ g / cos^ T

Mais il est possible de lever cette indétermination en remarquant que, chaque fois que le dénominateur du rayon de courbure R s'annule par l'annulation d'un

des facteurs (vF' — F) ou f sin t H F ) , 1^ rayon de

courbure R change de signe. Donc pour déterminer le signe du rayon de courbure au point ( ^v'j il suffira de savoir quel est le sens de la courbure après le passage du dernier point singulier, que l'on aura rencontré.

I lo. Forme générale de Thodographe. — Les

théorèmes précédents permettent de donner le tracé général de l'hodographe ; mais il faut distinguer plusieurs cas correspondant à des formes totalement difiérentes. Elles seront distinguées par le signe du facteur (vF' — F), qui peut sur toute la trajectoire être positif ou être négatif ou enfin être tantôt positif , tantôt négatif.

Comme on a: i^F' — F = {n — i)F,

THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE l6l

les trois formes d'hodographe seront distinguées par la valeur de n. Le cas intermédiaire de /i = i conduit au cas singulier d'un hodographe linéaire.

Première forme . — On an> i sur toute la trajectoire. — D'après le théorème dun® 109, le seul point où il y aura un changement de courbure de Thodographe sera celui où se produit la vitesse minimum définie par la relation

— î^-^+sm Tm= o.

Pour avoir, par conséquent, le signe de R depuis t' = oc jusqu'au point de vitesse minimum, il sufi&t de connaître son signe au sommet.

Or on trouve, par un calcul facile, pour la valeur du rayon de courbure au point (Vs,o)

cFA m

c^Fl I — n

Donc, au sommet, la concavité de la courbe est tournée du côté opposé à F origine,

La tangente en ce sommet a pour expression :

tgl =

cF.

L'hodographe tournera sa concavité du même côté jus-

cF(v ) qu'au point de vitesse minimum où — —^ + sin t^ = o .

Un point d inflexion se produira en ce point ; puis de là

au point f , v'j la concavité de la courbe sera

tournée du côté de l'origine.

l62 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES

Au point [ — '-^v'] la tangente sera horizontale (i 08).

D'ailleurs, en ce point, le rayon de courbure ne sera

dv point infini ; on le vérifie en faisant -7— = o dans Tex-

pression de R ce qui ne peut rendre nul le dénominateur.

La figure ci-dessous (Forme I), représente la forme de rhodographe pour n> i.

Elle admet une asymptote d'inclinaison 6 pour le point à l'infini.

La courbe lieu des points d'inflexion et de vitesse mi-

^ nimum répond à l'équation :

cF(v)

-\- sinT= o.

Comme au point / ,i>M

le rayon de courbure n'est pas infini, il y aura une seconde rencontre de Vhodographe et de la courbe de vitesse minimum pour

un point {v^^^Zj^) au delà de ( ) .

Il faut considérer les branches ùv' et ÙV de Fhodographe comme parcourues par le projectile dans le sens des flèches ; elles appartiennent à deux trajectoires différentes possibles du même projectile, suivant les conditions initiales du mouvement (69). On voit cependant que les deux trajectoires Q et Q' sont telles que le projectile arrive à la vitesse terminale u' en augmentant toujours de vitesse.

THEOREMES GÉNÉRAUX DE LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE l63

La branche Q' de l'hodographe présente un point {v ,Tn) où la vitesse verticale (v sin t) passe par un minimum. Comme on a

d(v sin t) v