Rayon de courbure de la trajectoire
Théorème. — Le rayon de courbure de la trajectoire passe par un minimum sur la branche descendante. Le rayon de courbure r en un point (v, t) d'une tra-
îectoire est donné par la formule fSq) r == .
** ^ ^ ^^ gcosT
1^ Sur la branche ascendante^ v diminue, tandis que cos T augmente ; le rayon de courbure va donc cons-
tamment en diminuant jusqu'au sommet où r^ = — - .
2° Considérons maintenant sur la branche descendante .un point situé au delà du point de vitesse minimum (i'„ï, T^) ; V croît et cos t diminue : le rayon de courbure croîtra donc. Par suite, entre le sommet et le point de vitesse minimum, les variations de r ont changé de signe et le rayon de courbure a passé par un piijiimum
I l84 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
3° Pour déterminer le point où se produit ce mini-
mum, difierentions Téquation r = par rapport
y , r\ . <7C0ST
a t. On aura : *^
dr
2V dv , sin T d-z
dt g LcosT dt cos^T dt
COST
'5g sin t + 2cF
Cette équation détermine un point (v^, t^) où le rayon de courbure est minimum et pour lequel on a :
2 c¥(Vj.) + 3 jr sin T^ = o.
Le rayon de courbure croît ensuite jusqu'à Tinfini pour u = d' et t = .
126. Trajectoire des bolides. — Dans le précédent paragraphe et dans celui-ci nous avons suivi constamment le projectile sur la branche (fi,V/, v') de Tho-
dographe du n° 1 10 et jusqu'au point .
Mais rhodographe comprend également la branche (y\iï) (io4) où T conserve constamment des valeurs négatives et à laquelle correspond une portion de trajectoire qui ne rentre pas explicitement dans l'étude précédente.
Cette portion de trajectoire sera caractérisée par le
fait qu'elle ne possédera pas de sommet^ mais seulement
une branche descendante, sur laquelle, pour une certaine
valeur — H, la vitesse v prendra une valeur infinie.
. Xfs jjroprié^s de cette trajectoire sont corrélatives de
THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE l85
celles de la trajectoire ordinaire à laquelle elle est associée et qu'elle complète. Ainsi le point ù\ qui correspond à une vitesse infinie sur la trajectoire sera à distance finie ou infinie suivant que la fonction D ( oo) sera finie ou infinie (120). La considération des fonctions S ( oc) et A (00 ) permet également Tétude de la forme de la trajectoire en ce point.
Il y aura une asymptote verticale à distance finie ou un point d arrêt dans les mêmes conditions qu'au n° 124.
La vitesse passera par un minimum ou non suivant que rhodographe aura la forme I ou II du n° 110. La vitesse terminale sera v' ou o, comme il a été dit au n° 104.
Le rayon de courbure passera par un minimum défini par la même relation que ci-dessus (i25).
Il existera un point où la vitesse verticale sera minimum dans le cas de la forme I de l'hodographe (no).
La figure ci-contre montre l'-ensemble des deux trajectoires associées qu'un projectile peut décrire. La trajectoire Q avec sommet est celle des projectiles lancés ordinairement par l'artillerie sous des angles positifs ou faiblement négatifs et des vitesses relativement faibles.
La trajectoire û' correspond à des angles de projection négatifs et des vitesses de projection très grandes ; ce sera la trajectoire des bolides qui rencontrent l'atmosphère terrestre avec des vitesses extrêmement considérables et sous des angles quelconques.
Fig. 54.
l86 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
Remarque. — On a rencontré dans la discussion du mouvement vertical descendant (69) une courbe (u, cy) qui présente quelque analogie avec la trajectoire : la branche isolée û' du n*^ 69 où les vitesses varient de 00 à v' dans le mouvement descendant est l'analogue de la branche ù' de la trajectoire où les vitesses ont les mêmes variations.
Mais dans le mouvement vertical descendant, sur la branche (û) les vitesses vont deokv' en restant toujours inférieures à v' et sur la branche ù^ les vitesses vont de 00 à v' en restant toujours supérieures à v'. Au contraire dans la trajectoire atmosphérique sur la branche Q la vitesse après avoir passé par un minimum tend vers v' en lui étant inférieure^ et il en est de même sur la branche û' dans le cas de la forme I de Thodographe (no). Dans le cas de la forme II, la vitesse tend vers v' sur la branche û' en lui étant supérieure.
11']. Exercices. — i. Construire la courbe (v, t) de la branche descendante. — Tangente en un point, minimum, point d'inflexion, asymptote horizontale.
2. Points remarquables de la branche descendante . — Quand on calcule une trajectoire, par arcs successifs, en adoptant comme division des amplitudes égales et très petites At, on remarque que, sur la branche descendante, les valeurs des abscisses Aa?, des temps A< et des ordonnées Aj, peuvent présenter des minima ou maxima.
Etudier les circonstances où ces particularités se rencontrent.
Cela revient à étudier les dérivées par rapport à x de
dx v^ dt V dy u^
dz g ^ d'z g cos x ' dz 9
On trouve que : f dx\
1° On a un minimum de f —,— ) au point (v^, t^) de vitesse mmimum ; \
2® On a un minimum de f-j- ) au point défini par la relation V ^"^ /
ig sin t; -f- cF = o .
Il "est situé entre le sommet et le point de rayon de courbure minimum ; I dy\
3° Pour étudier les variations de {-j-\ il faut considérer une équation du second degré \ '^/
acF aâin^x-l sin T H- 1 = 0.
Conditions de réalité des racines, conditions pour qu'elles
représentent un sinus. Il y aurait un maximum et un mi-
/- cF 3 nimum si y 2 < < — . Ils se produiraient pour un
angle t: compris entre — 3o° et — 45°-
Démontrer que ces conditions sont incompatibles avec l'hodographe, en raisonnant dans le cas limite où les deux racines sont égales.
En aucun cas donc, sur la branche descendante il ne peut exister de maximum ou de minimum pour la quan-
3. Ensemble des formules différentielles du mouvement. — On n'a utilisé dans la discussion du présent chapitre qu'un certain nombre des combinaisons possibles des équations différentielles du mouvement.
Supposons, par exemple, qu'on admette sept variables v,
u, /, T, a;, j, s; si on combine deux à deux les différentielles
du, rfu, dt sous forme de rapport, le nombre total des
7.6 combinaisons sera -^-7- =21 formules possibles, équations
différentielles du premier ordre.
l88 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
Combinant ensuite deux à deux les mêmes variables sous
d-v d-x la forme —rjj- , -r-^ etc. , on aura encore a i combinaisons nouvelles d'équations difierentielles du second ordre.
Former le tableau des formules auxquelles on arrive.
Démontrer : Théorème 1 . — Dans toutes les formules où ne figurent que les trois lettres x^ j, s, n'entre pas le
cF
rapport .
Théorème 2. — Dans toutes les formules où ne figurent
(en plus de x, j, s) que les deux lettres / et t, le rapport
s'introduit dans les dérivées secondes. 9
Théorème 3. — Quand on introduit une des deux lettres
cF ,.
y ou « le rapport s'introduit dans les dérivées premières,
la dérivée de ce rapport dans les dérivées secondes.
I 5. — Trajectoires a coefficie>'ts balistiques
