DIFFÉRENTS
128. Théorèiôe I. — En un point (v, t) d'une trajectoire atmosphérique^ le rayon de courbure ne dépend pas de la résistance de lair.
En effet, nous avons vu (89) que le rayon de cour-
bure r est donné par récruation r == — -
^ g cosT
Cette relation ne renferme pas la résistance de Tair cF.
Corollaire I, — Si on considère une série de projec- .tiles ayant des coefficients balistiques différents, mais lancés du même point (V^, a) sous le même angle de
sf*.
projection a et avec la môme vitesse initiale V^,, toutes les trajectoires de ces projectiles admettent le même
rayon de courbure r = — au point (V,,, a).
Corollaire II, — Parmi ces trajectoires se trouve celle du vide, correspondant à Thypothèse c == o. Cette trajectoire est celle qu'un projectile quelconque parcourrait si au point (i;,t) la résistance de Tair était tout à coup supprimée. On appelle cette trajectoire du vide au point (i^jt), parabole de la vitesse en ce point.
Corollaire III, — D'après le théorème I, une trajectoire quelconque est osculatrice à la parabole de la vitesse au point commun (î^,t), puisque ces deux courbes ont même rayon de courbure.
Exercices, — i . Trouver Téquation du cercle osculateur en 0 à la trajectoire (Vo,a) :
'2 . Trouver son intersection avec rhorizontale :
X = ter a.
3. Trouver son intersection avec la parabole de la vitesse en a :
X == sin '2a = 2A ;
Fig. 55.
j = '2X tg a.
129. Théorème II. — Deux projectiles de coefficients balistiques cet c' sont lancés du même point (VQ,a),
190 PROPRIETES DES TRAJECTOIRES ATMOSPHERIQUES
avec la même vitesse initiale V^ et sous le mêm£ angle de projection a. Démontrer que la trajectoire d est constamment au-dessous de la trajectoire c, si c' > c.
La démonstration de ce théorème exige qu'on ait recours aux équations différentielles de la trajectoire en coordonnées obliques, établies au n*^ 94»
1* L'équation différentielle analogue à Thodographe et qui n'est fonction que de deux variables est :
dv-== dp, où V = v^\i -{- p^ — 20 sin a] 2
La variable v^^ est la vitesse du projectile projetée sur
dz la tangente initiale : v^ = -7—.
^^l^ ^ ^ dy
On a, en outre, p = -j- .
Intégrons l'équation différentielle depuis l'origine (^p = o^ v^ = VJ *^' ^ ■ jusqu'à une valeur p ; on aura
,, c r^ vlF j , . .
^2 = Vq — — / dp pour la trajectoire c,
i>, = Vj, I — î — dp pour la trajectoire &.
g Jo ^
Or si d > c, ui est d'abord plus petit que v^ ; mais v'^ ne pourra, pour une valeur commune de p, dépasser v^ ; car dans ce cas, on se serait trouvé, au passage, dans les mêmes conditions qu'à l'origine (égalité de v^ et de p) et par suite on aurait démontré que v'^ est, un instant après, plus petit que v^.
2° Prenons le même éloignement z sur la ligne de projection. On a :
Puisque, pour une même valeur de /), on a toujours Uj de la trajectoire d plus petit que v^ de la trajectoire c, il faudra donc que, pour avoir le même éloignement z sur les deux trajectoires, on ait f plus grand pour la trajectoire d que pour la trajectoire c.
3** Rabaissement y correspondant à V éloignement z est donné par la formule
= — / pd'.
D'après la propriété précédente, p est toujours plus grand pour la même valeur z sur la trajectoire d que sur la trajectoire c. Donc Y abaissement y, d'après l'intégrale qui l'exprime, sur celte trajectoire c' sera plus grand que V abaissement correspondant au même éloignement sur la trajectoire c.
Donc la trajectoire d est au-dessous de la trajectoire c dont le coefficient p- -„
balistique est plus petit.
Corollaires. — i° La tangente en c' est plus inclinée sur l'horizontale que la tangente en c. Car p est plus grand en d.
2° On a ^ = J . Comme u^ < ^r, le temps mis
par le projectile pour aller de l'origine au point de
même abscisse (ou de même éloignement) est plus
grand sur la trajectoire d que sur la trajectoire c.
1 3o. Théorèmes sur le sommet. — Au sommet de la trajectoire, on a p = tga, et les théorèmes suivants peuvent être énoncés :
<<ï^z. donc Vs<Vs
\ s > ^ s 7 de réquation Y^ = ~ / v\ipdf
Ts > Ts, de réquation T^ = — / v^dp
i3f . Théorème III. — Une parabole à axe vertical ne peut couper la trajectoire atmosphérique en plus de trois points réels.
Soient en effet y = f{x) l'équation de la trajectoire et jj = a -f- hx^ + cx\, l'équation de la parabole à axe vertical.
Si les deux courbes ont m points réels communs, l'équation {y — yj sera satisfaite pour m valeurs réelles de X. Or on sait, d'après le théorème de RoUe, que si une équation admet m racines réelles, entre deux de ces racines existe au moins une racine de la dérivée.
Donc l'équation -^ — -^ == o, admet au moins
dx
' dW d'y ni — I racmes et l'équation -7-4 -f-r =^ o, admet
au moins m — 2 racines. ^^^^
THÉORÈMES GÉNÉRAUX DE LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE igS
Or, comme dans la parabole —tt' "= const., on aura
-r^ = const.
dx^
Mais dans toute trajectoire atmosphérique, oh a :
^ = tgT, d'où (102)
d^y I cfr g
dx^ cos^ 'zdx (ycos'zy
On aura ainsi
- — ^ — --- = const.
[V COSTj^
Or, on sait que v cos t est une quantité qui va toujours en décroissant de 00 à o. Il ne peut donc y avoir qu'une seule valeur de v cost et par suite de v qui satisfasse à cette équation * .
Donc la valeur maximum de m — 2 est i, c'est-àdire que m est au plus égal à 3.
Corollaires. — 1° Si une parabole à axe vertical est tangente en un point à la trajectoire atmosphérique, elle ne peut la couper qu'en un seul autre point.
2° La parabole de la vitesse qui a déjà trois points communs avec la trajectoire atmosphérique ne peut couper la trajectoire en un autre point.
3^ La trajectoire atmosphérique est comprise entre deux paraboles à axe vertical construites sur la portée et tangentes respectivement à l'origine et au point de chute de cette trajectoire.
* On considère ici comme formant toute la trajectoire soit la trajectoire avec sommet, soit la branche isolée (126). Si on considère l'ensemble, V cos X prend deux fois la même valeur variant sur l'une et l'autre branche de Qo à o.
