CHAPITRE VI
SUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DE LA BALISTIQUE EXTÉRIEURE
§ I . — Cas de F(y) = a -j- ^^"
i32. Objet du chapitre. — L'intégration de
Téquation différentielle de Thodographe ^ , — ^ =
qui est la seule équation du premier ordre parmi toutes les combinaisons possibles des équations du mouvement (90) qui ne renferme que deux variables u et t^ constitue, ainsi qu'il a été dit, le premier pas vers la solution complète du problème balistique.
Malheureusement, non seulement cette équation ne peut être intégrée quand on laisse arbitraire la fonction F(u), mais même les formes analytiques de F(v) qui permettraient l'intégration sont extrêmement peu nombreuses.
Une première forme est connue depuis longtemps : « Jean BernouUi, le premier, dans les Actes de Leipsig « (p. 21 6, mai 1719) réduisit aux quadratures le pro- « blême balistique quand F(t;) = By"^ et d'Alembert « dans son Traité de t équilibre et des mouvements des (f. fluides (p. 356, 1744) démontra que la réduction « était encore possible quand F(f) = a + bv"^ et quand
SUR l'intégration des équations différentielles 195
« F(d) = a -\- b Log D, a, 6 et n étant des constantes « quelconques. » (de Saint-Robert, t. I, p. 9 5.)
Plus récemment, le colonel Siacci a indiqué quelques autres formes de F(v) qui permettent d'intégrer l'hodographe (| 2).
Le présent chapitre est consacré à faire connaître sommairement ces résultats ; tout naturellement s'y joint l'étude du développement en série que les équations différentielles du n® 88 permettent immédiatement d'écrire par l'application de la formule de Mac-Laurin. Cette méthode constitue en effet une sorte d'intégration particulière, quoique très limitée en étendue, des équations différentielles. Enfin un dernier paragraphe sera consacré à la division du problème balistique qu'on peut baser sur les propriétés générales de l'hodographe dans le cas de F(î;) quelconque.
i33. Intégrration de l'hodogrraphe dans le cas où F(v) = a + bv^. — Nous supposons, pour simplifier l'écriture, que le coefficient balistique c est compris dans les constantes a et 6.
L'équation diifférentielle de l'hodographe s'écrira donc :
gd(v cos t) = v{a + 6y^) dx.
Développant le premier membre et divisant par y^ + \ il vient :
g cos T v~^~~^ dv — (a + ^ sin t) y~" dx = bdz
Dans le premier membre on trouve : 1° la fonction (a + ^ sin t) et sa différentielle par rapport à t qui est g cosT ; 2° la fonction v'"^ et, à un facteur près, sa dif-
férentielle par rapport à u, qui est — nv~^~^. Il est naturel de considérer le . premier membre comme la différentielle d'un certain produit d(Mv~^) où M est une fonction inconnue ne dépendant que de t.
Pour déterminer la fonction M, multiplions les deux membres de Téquation par un facteur intégrant K fonction de T, en vue de rendre le premier terme de Féquation différentielle identique à la différentielle de
r/(My-^) = — nv-""-' Mdv + u"^ JM.
En identifiant, on devra avoir :
dM. = — (a + ^f sin t) R^t et — nM = K^ cos t.
Divisant membre à membre, il vient :
dM n[a -\- q sin t) c?t sin t , na d'z
----. = — i î^ <- — = n GT H
M (j cos T cos T g cos t
En intégrant :
na
Log M = — n Log cos t H Log tg
ou Log M = Log c'est-à-dire
cos"
rt± f 7z
M = cos-'^T tg» I7- H
ou en posant — ==-- A
M = cos-'Ttg"''(y + ^
SUR L INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES 197
Ainsi donc, on connaît le facteur intégrant
AlM
R = , fonction de t, qui rend le premier
et COS T
membre de l'équation une diflerentielle exacte.
On aura ainsi pour l'équation différentielle de l'hodo^raphe :
^ ^ g cosT
En intégrant il viendra :
q J cosT
Posons tg ^-^ + -^) = î;
On en déduit :
cos T == 7jr- : sm t
i + î;^ ' .!;'+ I ' COST î;
Avec ces notations, M devient :
M = cos-^T tg"^^ (7 + ^) = ^''%?T î^"' = ^"' ( ï + 'QY ^"""'^
Portant cette valeur de M ainsi que les valeurs de d'z et de cosT dans l'intégrale qui donne Mu" ^, celle-ci deviendra en fonction de la variable ^ :
L'équation qui donnera alors v en fonction de ^ est la suivante :
La constante est déterminée par la condition qu'à Uorigine du mouvement, on ait à la fois :
i^ = Vq et T = a, c'est-à-dire Ç^^ == tg (y +
comme limite de l'intégrale .
Ainsi doûc, v est exprimé en fonction de Ç, au moyen d'une simple quadrature. Le problème balistique tout entier est alors réductible aux quadratures, ainsi qu'on le sait, puisque l'hodographe est intégré.
Les autres éléments de la trajectoire
dx = rfr, dy^= tgr ^t,
j V dz , ,v^ di
g cosT g cosT
s'écrivent en effet, en introduisant la variable ^
Gî = p- aÇ, as ==• p —
et en remplaçant dans ces formules v par sa valeur en fonction de ÎJ, le calcul de a?, t, y qI s sera ramené à des quadratures.
134. Cas d'intégration ^ — i^ L'intégrale qui figure dans l'expression de v s'exprime en termes finis et par conséquent aussi la vitesse v :
a) quand n est un nombre entier,
* Extrait de Saint-Robert, t. I, p. loi.
SUR l'intégration des équations différentielles 199 6) quand n étant fractionnaire,
-i L ou ^ ^ est un nombre entier.
ao Les quadratures qui donnent les éléments x, j, /, s de la trajectoire s'obtiennent sous forme finie dans les cas particuliers suivants :
/ n == o quel que soit h ;
n = i pourvu que h soit rationnel et différent de it I ;
quand \ n = 2 quel que soit h ;
Al = — pourvu qu'on aji h = pq ± i (p et g P étant deux nombres entiers) .
n = o quel que soit h ;
n = I pourvu que /i soit rationnel et différent de it I ;
^ X ( n = 1 pourvu que h soit rationnel et différent quand ] de o et de zb i ;
n = - pourvu qu'on ait h = pq ± 1 (p et g P étant deux nombres entiers).
n = o quel que soit h ; n= i quel que soit /i ;
quand i ^ __. pourvu qu'on ait h= 1 pq± i (p et q
P étant deux nombres entiers).
« Soit, par exemple, le cas de n = 2, c'est-à-dire F{v) == a -{- bv\
On a pour l'intégrale qui figure dans l'expression de v
T ?'2ii I
a(/i— i)"" /i îi(/i+i)
200 PROPRIETES DES TRAJECTOIRES ATMOSPHERIQUES
« 11 s'ensuit que quand h est rationnel et différent de zéro et de ili I , les expressions de dx et de dy ont la forme de fractions rationnelles ^, qu'on peut intégrer en termes finis, au moyen des logarithmes et des arcs de cercle, après qu'on les aura décomposées en fractions partielles ayant pour dénominateurs les facteurs binômes ouirinômes du dénominateur commun.
(( Il est inutile d'avertir que, si h est fractionnain? et égal
à — on doit égaler ^ 4 à une nouvelle variable, pour rendre
rationnel le dénominateur.
« Le dénominateur n'est plus algébrique, toutes les fois que h = o ou h =i ±: i ; en effet dans le premier cas, on a
et dans le second
'« ^ Log ^'
'iQizïii) 'i{h±i) ^ Ç
« Alors les valeurs de rc et de j ne peuvent plus s'obtenir en termes finis.
« Il arrive donc que tandis qu'on ne peut obtenir les valeurs finies des coordonnées de la trajectoire dans le cas le plus simple de la résistance proportionnelle seulement au carré de la vitesse, on a, au contraire, en termes finis, les valeurs de ces coordonnées dans le cas plus général dans lequel, au terme qui contient le carré de la vitesse, on en ajoute un autre constant, rationnel et différent de l'unité. Ce qui s'explique aisément, en remarquant que le degré de l'équation à résoudre, pour décomposer le dénominateur, s'élève à
^ On a, par exemple, dans le cas général
2(l+^«)^«(h-l)rfr
gdx=:
SUR l'oTÉGRATION des équations différentielles 201
mesure que h devient une fraction plus petite et que cette équation est de degré infini pour h = o. »
l'iS. Exercices. — i* On peut intégrer Thodographe dans le cas où
F(i;) =z a -\- b Log v.
(Même procédé que ci -dessus.)
i9 Si on considère deux milieux Tun où F(i;) = a et l'autre où ¥(v) = a -f- 6u, et les temps t et f employés par les projectiles pour parcourir deux arcs ayant les mêmes inclmaisons t à leurs extrémités, on a
ebgt — I ^ igt' (de Saint-Robert.)
3** Si on considère deux milieux, l'un où F(v)=aet l'autre où F(v) = a -j- 61;^, et les arcs s et s' décrits par les projectiles entre les mêmes inclinaisons a et t, on a la relation
^uqs ^^ j j ^5^5/ (de Saint-Robert.)
4® Intégrer directement l'hodographe comme une équation de Bernoulli, en posant v~^ = Y.
nb d'z
^cosT g cosT
dont l'intégrale est
. nr(îLi£ii^),;,r nb rnf
a j Montrer qu'on a
^/a+^^in x\ ^^ *^ M T + 7
g cos T
g J cosx
± f TZ
et ramener l'expression de V à celle trouvée pour — dans 111 1)^
le texte du paragraphe.
202 PROPRIETES DES TRAJECTOIRES ATMOSPHERIQUES
