Cas d'intégration de l'hodographe
d'après Siaggi
i36. Le problème balistique au point de vue analytique. — L'intégration de l'équation de l'hodoeraphe ne peut intéresser réellement les balisticiens que si la fonction F(v) qui y figure, ou bien est laissée arbitraire de manière à s'accorder dans tous les cas avec la loi expérimentale de la résistance de l'air, ou bien, tout au moins, est remplacée par une autre fonction capable de représenter plus ou moins bien, sur une plus ou moins grande étendue cette même fonction expérimentale F(i;). Si cet objet précis est négligé, on passe du domaine de la Balistique à celui de la pure Analyse. Sans entrer dans les détails des calculs, il importe seulement de connaître l'état actuel où cette analyse a amené la solution du problème balistique et, à cet efiet, nous ne saurions mieux faire que d'emprunter quelques pages au G^ Siacci.
Les citations ci-dessous, tirées des C. R. de V Académie des Sciences, sont presque textuelles.
137. Sur un problème de d'Alembert. Note de M. F. Siacci. C.R. t. 131, p. U75 (Ann. 1901).
(( Pour que les équations du mouvement d'un projectile dans un milieu résistant se ramènent aux quadratures, la résistance étant supposée directement contraire à la vitesse, et fonction de la seule vitesse, il faut intégrer l'équation de l'hodographe :
(1) cosi:dv = v{ ^+smTjdT.
« D'Alembert chercha des formes de la fonction — permettant cette intégration et il en trouva quatre : 9
= a + bv^ = a-\-b Log v
^^ =ai;'^ + R-t-6v-'^ — = a [Log i;] 2 + R Log v + 6
SUR l'intégration des équations différentielles ao3
avec deux ou trois constantes chacune, car dans les deux
dernières formules les quantités a, 6, R, n et a, 6, R sont
respectivement liées par une équation. Avant d'Alembert,
cF on ne connaissait que le seul cas de = 3^^^, résolu par
9 . . , Jean Bernoulli. D'Alembert, après avoir indiqué ces cas,
ajoute :
« Je ne prétends pas, au reste, qu'il n'y ait que ces seuls
« cas où la trajectoire soit constructible ; mais je laisse à ceux
« qui aiment ces sortes de calculs à pousser plus loin leurs
« recherches là-dessus. (D'Alembert, Traité de V équilibre et
du mouvement des fluides. Paris, p. 359, ^744)
<( L'appel est resté sans réponse, que je sache. Le problème de d'Alembert ne manque pas d'intérêt, même au point de
. cF
vue pratique. Si l'on connaissait bon nombre de fonctions —
contenant plusieurs constantes arbitraires et permettant
l'intégration de (i), on pourrait espérer d'y trouver une fonction s'accordant avec la résistance donnée par les
expériences. La fonction a -\- 6u, par exemple, qui rentre dans les cas de d'Alembert représente une loi de la résistance de l'air, signalée récemment par M. le G^ Ghapel (C /?., lo déc. 1894). Mais la loi de Ghapel ne vaut que pour les hautes vitesses. Le problème de d'Alembert d'ailleurs lait abstraction des conditions pratiques et comme problème d'analyse, il pourrait bien appeler l'attention des géomètres. « En attendant, je donne ici quelques nouveaux cas d'in-
. cF .
tégrabilité. Trois des nouvelles fonctions contiennent
g quatre constantes arbitraires, et deux de ces fonctions dérivent de l'intégration d'une équation de Riccati, un peu plus générale que d'ordinaire.
cF Première forme. «Posons: — ==P-
« Soit UL == a I pdv — av siii t — 6 / — —
J J COST
et multiplions (i) par e'^{y cos i)-^
a, b, n sont des constantes.
On trouve que le multiplicateur {j. est un facteur intégrant de (i) si p vérifie l'équation :
dv
+ ai;*-''(p2 — i) = 6i;-»i.
« Si l'on fait a = o, on a de suite les deux premières
formules de d'Alembert suivant que n^i ou m = i . Dans
le cas général en posant n = — , av= — , p = yx^ ~ ^
l'équation de condition devient
un peu plus générale que l'équation ordinaire de Riccati (où 6 = 0) qu'on sait intégrer au moyen des fonctions algébriques et exponentielles lorsque g = o ou lorsque — est un
nombre impair positif ou négatif. Mais on peut aussi intégrer (-2) au moyen des mêmes fonctions ^ lorsque h ci k étant deux nombres entiers et positifs (zéro compris) on a
b = h^k, l=n = zt(i -\-h + k).
« Posons comme définition d'une fonction cp des trois lettres a, 6 et v
^{^ e v)=i I V g(q— i)(g— 2)...(g— t + i) ('lavY n. i^j "^2j(<ï+6)(<î+e— i)...(a+e— f+i) i.'2...r
La fonction cp doit en outre remplir les conditions suivantes :
* SiAcci, S alla integrazione di una equazione differenziale e sulV equazione di Biccali [Bendiconti délia R. Accademia délie Scienze Fisiche e Matematische di Napoli, aprile 1901).
