J'TT
SUR l'intégration des équatioks différentielles ao5
I® Pour <r = o et pour (<i + 6) = o, on doit avoir <p = i .
a** Si (<î + 6) est entier et positif, <5 doit aussi être entier et positif : dans ce cas le développement de <p s'arrête au terme où i = s.
« Ceci posé rintégrale de (2) s'obtient en dérivant logarithmiquement par rapport à i\ Tune ou Tautre des équations suivantes :
(I) &Kfiàv = e^^ ^(^h, k, — v) + G€-«^ 7(/i, k, v)
avec h = h — k et n=: i -{- h -{- k.
(II) {avy&^M^ = e'^ 9 (/i, k, — v) 4- Ce-«^ cp {h, k, v)
avec h = h — k et n== — i — h — k.
C est une constante arbitraire.
Si h et k sont entiers et positifs, les fonctions 9 sont des polynômes finis. SL 6 et /i ne sont pas compatibles avec h ei k entiers et positifs (zéro compris) on aura des séries convergentes, quel que soit v, en prenant (II) lorsque n est positif et en prenant (I) lorsque n est négatif. De cette manière h-\- kesi toujours négatif et le dénominateur en cp ne s'annule jamais.
Deuxième forme. — « On peut avoir d'autres cas d'intégrabilité en donnant d'autres formes au facteur intégrant, bi l'on multiplie (i) par :
[1 (i 4- sin t) 4- ti (1 — sin 'c)]p t' cos T (i + sin t)« (i — sin xj?
où a, p, p sont des constantes et ^ et a des fonctions inconnues de v, on trouve que M est un facteur intégrant de (i) si A, [X. et p vérifient les équations suivantes :
vd [(p + i) ^Pj = -2^).? dv; vd [(p — i) [jlP] = aaaPdu
1 — ^= kv P
k est une constante.
« Les deux intégrations s'effectuent sans difficulté :
1° Lorsque a= ^= o ; 2^ lorsque p^ i et qu'on annule
f ^*lim
la constante de la première intégration ; 3<* lorsque ^ = o et p = a ; 4^ lorsque a = o et jo = — p.
« A ces quatre cas correspondent quatre formules donnant des expressions de p rendant intégrable l'hodographe. Ce sont -
(III) y = a(p+i)i+6(p~i)i ^J ,+a(p— i)^
" J i+b(p+ir
(VI) H. = . + b(p + .)w
a 6, (7, K, H, i, r, r' sont des constantes arbitraires liées ou non avec les arbitraires a, p, p et k.
Troisième forme, — « Si Ion donne au facteur intégrant
Tune ou l'autre des formes suivantes :
(f^gsïu'z + hsm^'z) \ i /f-\-g smiy
—■ î^cosT ' ucosx \i4-/isim:y
f a, h étant des fonctions inconnues de u, on trouve des équations difTérentielles qui s'intègrent facilement. On détermine de cette manière/, g, h et l'on obtient pour p les équations suivantes
(VIII) Log Pp=^/t+^^-J/ttW+ô^+^
« La dernière formule donne v en fonction de p avec un nombre fini de termes lorsque r est rationnel et contient quatre constantes arbitraires, comme (I) et (II). Elle contient aussi comme cas particuliers, les formules (V) et (VI).
SUR l'intégration des équations différentielles 207
Quatrième forme . — « On peut avoir encore uncasd'intégrabilité de ( I ) en prenant comme facteur intégrant e v-{v cos t)"~^
avec {J. = [^af^dv — av sin t]^ -f- iorjv{o^ — i) dv.
La fonction p s'obtient au moyen d'une équation du second ordre qu'on intègre facilement.
i38. Sur un problème de d'Alembert. — Note de M. F. Siacci. C. /?., t. i33, p. 38i et 496 (Ann. 1901).
« Aux cas d'intégrabilité de l'équation de l'hodographe on peut ajouter les deux suivants :
« Le premier est
p = Av \/'ic + v' + B(c + v^).
En introduisant la variable z liée à v et t par la relation
2C -f- v^ = v-z- (Bc — sin 'z)^
l'équation de l'hodographe se réduit à
zdz dx
z'^ (B-c'^ — i) + '-^Acz -j- I cos T (Bc — sin ':)
où les variables sont séparées et les intégrations partielles, en outre, ne contiennent que des fonctions élémentaires.
« L'autre cas s'obtient en multipliant l'équation de l'hodographe par
(i — sin t)"" (i -|- sin •:)? (j + sin t)«-?
et en soumettant ce multiplicateur à la condition d'être un facteur intégrant de l'hodograjîhe ; ot^ei ^ sont des constantes quelconques, mais différentes et y est une fonction de v. On obtient ainsi deux équations diifér(?ntielles entre p, v et y, lesquelles intégrées donnent :
Ci^^==
, J jy9 l
-ioS PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
I^'élimination de j donnerait p en fonction de v, avec quatre constantes arbitraires a, p, y ^t G. Mais cette élimination n'est point nécessaire. Il convient au contraire, pour l'intégration de l'hodographe, d'exprimer p et v en fonction de y.
« Le premier cas, pour A == o se réduit à p = B(C -f- v^) qui a été traité par Legendre^. 11 rentre dans le cas de d'Alembert p = au" + 6, mais Legendre ne cite pas ce grand géomètre, quoiqu'il cite Bernoulli pour le cas p = av^.
Jacobi a traité le cas p = av^ -\- b, comme une généralisation du cas de Legendre; il cite, lui aussi, Bernoulli, mais non pas d'Alembert ^. »
I 3. — La série de Mag-Laurin
AUTOUR d'uNvPOINT DE LA TRAJECTOIRE
iSg. Principe du développement. — S'il n'est pas, en général, possible de résoudre le problème balistique par l'intégration des équations différentielles, il est cependant toujours facile d'obtenir un développement en série qui, dans certaines limites, permettra le calcul des éléments d'un arc de trajectoire.
Étant données les valeurs des éléments à l'origine d'un arc, c'est-à-dire ojy, y^, u^, /^ et t^, on se propose de rechercher et de calculer quatre des cinq quantités 5C, y, u, / et T de la fin de l'arc, l'une d'elles quelconque étant supposée définir cette extrémité.
Comme on connaît les expressions des dérivées premières et secondes de toutes ces quantités, les unes par rapport aux autres (127 ex. 3), on pourra calculer aisé-
* Legendre. Dissertation sur la question de balistique etc. Paris, 1846, p. 91.
* Jacobi. Gesammelte Verke. Band, IV, p. 287.
SLR L INTEGRATION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES 20g
ment les dérivées troisième, quatrième, etc., et par suite obtenir directement le développement suivant la formule^ de Mac-Laurin des éléments de la fin de Tare par rapport aux données à l'origine et à un des arguments de cette extrémité.
A condition de réduire suffisamment l'amplitude de l'arc, de manière que tous les éléments n'éprouvent que de faibles variations, on au'ra ainsi une méthode de calcul qui pourra se prêter, dans les cas où sa convergence sera suffisante, à des applications pratiques.
Il existe, avec les cinq variables choisies prises l'une ou l'autre pour argument a?, y, v, / et t au dénominateur des dérivées, cinq groupes de formules, applicables autour du point x^, y^ ; tous ces systèmes rentreront évidemment les uns dans les autres, auront une convergence de même ordre et on pourra passer de l'un à l'autre par la méthode du retour des séries. 11 suffira donc de calculer les coefficients d'une des séries pour pouvoir calculer ceux des autres arguments.
Soit î^ un élément quelconque dont on veut le développement par rapport à un autre Ç. On posera i = ^Q — (io — i) et la formule de Mac-Laurin donnera immédiatement la série
^.-s, i'-4j(^rfc;+ 1.2 [dt^)^ ,.2.3 U'
Il suffira donc, pour pouvoir écrire cette formule, de
calculer les dérivées successives -^ , -7=7- , -7=^ ... de s
dl rfr «5
a 10 PROPRIÉTéS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES
par rapport à Ç et de déterminer leurs valeurs à Torigine.
On supposera à Torigine de Tare a;,, = y,, =?= /^ = o, ^o = VoetT^ = a.
i4o. Équation de la trajectoire* — Nous prendrons comme point de départ de toutes ces séries la relation entre y eix que nous écrirons :
y=a:tga
gx'
^Vïcos^a
Les deux premiers termes peuvent être écrits directement, puisque la trajectoire dans Tair et la trajectoire du vide sont osculatrices (128), au point (Vjj,a). Il s'agit maintenant de déterminer les coefficients A 4 A
On trouve aisément, en sachant (88) que
dx
dv dx
^cF
UCOST
+ sm
inTj
les formules suivantes
tg'^;
