SUR L'INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

1 '^Kg f X

i.u.:i Vj-« \cosa

'i{n — i)6n^^sina 2(4 — n)h\g

cos a

'i(n — i)(i4 — ^^)^i9^ sin a

•i{n — i)6n^^[cos"^ ci.-\-(n — 2) sin- a]

ys — n

4(4 — «) (3 — n)lig

COS a

146. Formules du tir horizontal en fonction de Tangle de projection. — Il est utile de connaître les formules qui donnent les éléments du point de chute quand Fangle de projection a est Targument. On peut les tirer directement des formules qui donnent les éléments de ce même point en fonction de X par la méthode du retour des séries dont voici un exemple.

Soit la série

3^^:^^ = X [i + mX + AiX'^l

où m et n sont des coefficients connus. On posera

Vo sin aa

[ I + m' sin 2a + ^' sin- 2a]

En portant cette valeur de X dans le second membre de la première équation et identifiant les termes semblables, on aura :

mm

2ao PROPRIETES DES TRAJECTOIRES ATMOSPHERIQUES

On en déduit m' et n! et on aura :

V,^ sin aa

r 2 cF„ .

I TT — - sin aa

I c'-Fj /v^f;

6 3^ l Fo

Sin 2a..

On aura ensuite les autres éléments par les formules du n^ 143 où on remplacera si on veut X par la valeur ci-dessus.

On peut remarquer que dans le crochet de la formule qui donne X, on peut remplacer sin 2a par 2 tg a, si on se borne au terme en sin^ 2a.

147. Exercices. — i® A Faide des formules générales du n° 1 4 1 qui donnent les éléments en fonction de x et par la méthode du retour des séries former les quatre groupes de formules ayant pour argument (tg a — tg t), /, (Uq — u)

'1^ Obtenir directement ces mêmes formules par le développement de Mac-Laurin en prenant les dérivées successives des éléments par rapport à t, /, m et y.

3** Faire leur application au cas du tir horizontal.

4*^ Calcul des formules du sommet.

5° Faire rentrer dans les développements de ce paragraphe, comme cas particuliers, les développements donnés pour le mouvement rectiligne (5^, 58, 77;.

G*^ Etablir les développements en série non en partant de léqualion de Mac-Laurin, mais par l'intégration par par-

ties de l'hodo^raphe écrit du =■■ — «F -, — et des autres

^ * g cos-T

équations du mouvement. On a ainsi des séries où figurent les variables u, i> et tgT.

d'^y 2(7 c F 7° De la formule -7-^ -= p — — (97) déduire la for-

SUR l'intégration des équations différentielles 2!2I

mule du n** 124.

On intégrera par parties l'intégrale triple

qui s'introduit dans la formule / dx i dx i —r^ dx

Jo Jo Jo V^COS'^T

(M. de Sparre. Mémorial de VArt. de la Marine j t. XXI, 1893, p. 200.)