Division des théories balistiques

14B. pistinction des théories analytiques et balistiques. — L'examen qui vient d'être fait des cas très peu nombreux et très particuliers où on sait intégrer rhodographe, et de ceux, encore bien plus rares, où on pourrait pousser le problème balistique jusqu'au bout, montre que jusqu'ici l'analyse n'a pu obtenir que très peu de résultats dans la voie d'une solution rigoureuse et complète du problème balistique ; et encore, dans les quelques intégrales acquises, est-on obligé de sacrifier totalement aux nécessités analytiques la généralité de la fonction F(î;) de la résistance de l'air.

On a dit, dans l'Introduction (i3), comment la conservation nécessaire de cette fonction s'était progressivement et impérieusement imposée aux artilleurs balisticiens, soucieux de rendre pratiques et directement utilisables pour les expériences de tir, les formules issues de leurs théories.

Les travaux poursuivis dans cette voie présentèrent tout d'abord avec Didion, de Saint-Robert, Siacciet leurs successeurs, un certain caractère de semi-empirisme qui les conduisit à remplacer par des valeurs constantes moyennes certaines quantités variables dans les équations différentielles et à demander à l'expérience la détermination des coefficients nécessaires.

t22 2 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHERIQUES

Mais il est possible à l'heure actuelle, d'une part de généraliser beaucoup le principe qui est à la base de ces méthodes et d'autre part de présenter toutes les théories balistiques d'une manière absolument rigoureuse en les reliant toutes à un procédé analytique uniforme.

ï49- Arcs de trajectoire. — Si on doit renoncer à l'ambition de représenter par une forme analytique unique toute une trajectoire, depuis le point Q à l'infini

en amont de l'origine, jusqu'au point "- , extrémité ^

de la branche descendante, il faut bien remarquer que dans la pratique de l'artillerie, on n'a pas besoin de considérer des trajectoires aussi générales et aussi étendues. La seule portion utile, limitée à la surface de la terre, est très restreinte par rapport à l'étendue totale de la courbe et se tient en somme, analytiquement parlant, dans le voisinage d'un point de cette courbe. C'est donc, en réalité, l'étude et la connaissance d'un simple arc de la trajectoire totale qui seront réellement utiles aux artilleurs, et c'est à ce problème restreint qu'ils ont consacré leurs efforts.

Une première solution consistera évidemment dans le développement en série de Mac-Laurin autour d'un point, tel qu'il a été établi au paragraphe précédent. Chaque élément de la fin de l'arc s'exprimera ainsi en fonction des puissances croissantes d'un autre de ces éléments, l'abscisse x par exemple. Mais la convergence d'une telle série sera très peu rapide, en général ; on peut d'ailleurs prévoir ce fait en remarquant que dans l'expression de y en fonction de x par exemple, la fonction F^ n'entre qu'au 3® terme en x^ puis la fonc-

SLR l'iISTÉGRATIO:^ des ÉQLATIO^S Dlt^FÉRE^ïTIELLES 223

lion Fp au 4° et ainsi de suite. C'est donc très lentement que se manifestera l'influence complète de la fonction F(t') qui ne s'introduit ainsi que par parcelle dans la valeur des dérivées successives à l'origine F^, F^, Fo . . . 11 faudra donc, ou que Tare soit très petit, ou que le nombre de termes soit très grand, pour qu'on puisse espérer une précision satisfaisante.

i5o. Les séries de la première classe. — Mais

peut-on envisager d'autres séries, où la fonction F, i') entrerait dans les termes successifs sous sa forme générale? La considération de l'hodographe permet de répondre affirmativement et de donner la classification de ces solutions.

Soient

dfvcos'z) cF(v) du c ^^ ( u

-^ — ï — ^= — ^ et cosT— r- = — F

vd-z g ud-z g \ cos t

deux formes équivalentes de l'hodographe, puisque

U = V cos T. 1/ N

cl V cos *" ' D'après la première, on voit que le rapport — ^^ — -j — ^

est toujours égal au rapport — — ; si donc ce dernier

prend les valeurs o ou oo, on obtiendra immédiatement comme intégrales du mouvement soit cfa = o, soit dz = o.

Ces deux cas-limites correspondent aux deux problèmes traités au Livre I du Mouvement dans le vide et du Mouvement rectiligne horizontal.

Mais ces intégrales limites seront évidemment, dans le problème balistique, les premiers termes de deux séries qui correspondront la première au développement sui-

aa4 PROPRIÉTÉS DES TRAJECTOIRES ATMOSPHÉRIQUES

vant les puissances de — et la seconde au développement

suivant les puissances de — . Et, dans chacune d'elles,

la fonction F(u) s'introduira immédiatement dans les intégrales qui définiront les termes successifs. Au contraire de la série de Mac-Laurin qui procède par différentiations successives, c'est par intégrations successives que ces séries formeront leurs termes. On conçoit bien ainsi quel avantage de tels développements devront présenter sur celui de Mac-Laurin.

Comme en un point quelconque de la trajectoire, le

cF rapport sera, ou plus petit, ou plus grand que i ,

1 un des deux développements y sera valable certainement, à l'exclusion de l'autre.

Si ces solutions peuvent généralement servir au calcul d'un arc de trajectoire quelconque, il est certains cas pratiques où elles permettront le calcul de la trajectoire tout entière, de l'origine au point de chute. De là les noms qui dans l'exposé des théories balistiques sont donnés à ces deux solutions savoir :

cF

Tir tendu à grande vilesse lorsque — > i

cF

Tir courbe à faible vitesse lorsque < i

i5ï. Les séries de la deuxième classe. — Dans l'équation de l'hodographe sous sa deuxième forme :

du c ^ ( u

COS T ;— == r

ud'z g \ COS T / ' l'angle t n'entre que sous le signe cosinus. Or, on connaît

SLR L OTEGRATION DES EQUATIONS DIFFEflEISTlELLES '22J

le développement de Taylor de cette fonction en série convergente dans le voisinage d'une valeur initiale cos a. Ce développement peut être porté dans l'équation différentielle deThodographe, ce qui en permettra le développement en série. L'intégration de chaque terme successivement donnera l'intégrale de la fonction inconnue sous forme d'une série de fonctions qui sera également convergente.

Par ce procédé et moyennant donc une série auxiliaire empruntée à la trigonométrie, on obtiendra un développement valable en tout point d'une trajectoire c\ où la fonction F(î;) entrera encore sous le signe / avec totlte sa généralité.

Mais cette solution générale et déjà intéressante admet un cas particulier qui en réalité constitue de beaucoup le plus important des problèmes que se pose la Balistique pratique : il correspond au cas où l'angle t, sur tout l'arc de trajectoire utilisé, reste voisin de zéro, c'est-à-dire lorsqu'on se trouve placé prés du sommet de la trajectoire. C'est le cas du tir ordinaire des canons, en particulier de tous ceux de Marine.

Alors cos T se développe par rapport à la valeur zéro sous la forme .^

cos T = I

L'absence du terme en t permet d'escompter un développement en série particulièrement convergent pour la solution de ce problème qui sera désigné sous le nom de Tir de plein fouet.

Deux autres cas particuliers, issus de la même série trigonomé trique, s'aperçoivent immédiatement ; c'est lorsque l'inclinaison t reste toujours très voisine de

^ — , auquel cas cos t est très voisin de zéro, mais est tel qu'en posant t = zt -^^ 8, on peut écrire

cos T = d: 9 I ^- -f- . .

A ces deux hypothèses correspondent deux séries qui ont pour cas-limites le Mouvement vertical ascendant et le Mouvement vertical descendant, (Livre I).

i52. Séries de la troisième classe. — La classification précédente n'épuise pas le nombre de cas où il est possible d'intégrer, par les séries, le problèîne balistique. Mais, tandis que les deux méthodes précé-

dentés (développement suivant les puissances de — , ou

développement trigonomé trique) étaient valables en un point quelconque de la trajectoire, les séries restantes sont tout à fait particulières à un point spécial d'une trajectoire.

En certains points, en effet, de toute trajectoire, on connaît immédiatement une intégrale du mouvement. Ainsi, au point de vitesse minimum, on sait que la vitesse t' est é^ale à v^^ vitesse minimum ; or dans le voisinage de ce point on peut également prendre v = v^^ en première approximation. Ainsi, au point de rayon de courbure minimum, la trajectoire pourra être, en première approximation, assimilée à son cercle osculateur qui a quatre points de communs avec elle. Ainsi encore vers l'extrémité de la branche descendante le mouvement suivant Taxe des y sera presque uniforme et par suite on aura y = v't en première approximation , etc.

SUR L OTEGRATION DES EQUATIONS DIFFEREîîTIELLES 11']

Ces hypothèses, portées dans les équations différentielles du mouvement, permettront de déterminer les premiers termes de séries valables dans des régions voisines de celle affectée de la singularité qui sert de définition à la région.

i53. Division générale des théories balisti ques. — Le tableau suivant résume la discussion précédente des séries que Ton peut calculer pour la solution du problème balistique.

V^ classe. — Séries ordonnées suivant les puissances

du coefficient balistique c.

eF

1 ^ Puissances ascendantes — > i . Tir tendu a grande