CHAPITRE VII
LA THÉORIE D'EULER
I I^^ — Intégration de l^hodographe
i55. Formes monômes de la résistance de l'air. — Les premières recherches théoriques sur la loi de la résistance de Tair avaient conduit les savants à admettre, avec Newton, la proportionnalité de cette résistance iau carré de la vitesse. L'expérience n'est pas, du reste, ainsi qu'on Ta dit (12) en désaccord formel avec cette conclusion, tant qu'on s'en lient aux faibles vitesses réalisées dans le tir des mortiers.
En adoptant la loi quadratique comme base de la solution du problème balistique, on peut établir les tables de tir de ces bouches à feu dans des conditions assez satisfaisantes d'exactitude. Cela tient à ce que la vitesse des projectiles des mortiers varie de 100 à aSo mètres environ et que dans la région de ces vitesses, la courbe des f{v) présentant un minimum (11) les variations de cette fonction sont très faibles, ce qui
ti32 . RÉSISTANCE MONOME
permet de considérer la résistance comme quadratique. Quand on utilisa, dans les canons, des vitesses plus considérables que celles employées avec les mortiers, la loi quadratique dut être abandonnée comme insuffisante pour rendre compte des faits balistiques. Diverses expressions monômes de la loi de résistance furent alors proposées ou employées. C'est ainsi que successivement, on a mis en avant les lois du cube, des 4*^, 5® et même 6® puissances de la vitesse pour représenter, soit dans toute son étendue, soit entre des limites de vitesses bien déterminées, la loi de résistance de Fair. On a donné (12) Texplication de ces interprétations successives et montré Finsuffisance, en général, d'une
représentation aussi simple.
i56. Généralité de la théorie d'Euler. — Au
point de vue de la théorie, la loi du carré ne se dislingue pas des autres lois monômes qui réduisent la fonction F (y) à la forme B^t''^. En effet, Fhypolhèse de la proportionnalité de la résistance à une puissance quelconque de la vitesse, permet d'aborder analytiquement le problème balistique, et d'en donner une solution complète, rigoureuse et générale, sinon sous forme de relations explicites entre les divers éléments de la trajectoire, du moins sous forme de tables d'un usage commode et d'une étendue restreinte.
C'est à Euler qu'on doit le principe de la construction de ces tables, et la solution qu'il a donnée du problème balistique dans le cas d'une résistance quadratique a été le premier progrès accompli dans l'étude du mouvement d'un projectile dans un milieu résistant. Avant cette époque, la théorie du mouvement dans le
LA THÉORIE d'eULER 233
vide était seule connue et employée pour rétablissement des tables de tir.
Des tables fondées sur la théorie même d'Euler ou sur sa généralisation immédiate ont été effectivement calculées pour des lois de résistance quadratique, cubique et biquadra tique. Le principe commun qui a servi à la construction de ces tables résulte de propriétés générales qui subsistent quel que soit Texposant n admis dans l'expression de la résistance de l'air. C'est l'ensemble de ces propriérés qui constitue la théorie d'Ealer.
L'étude du problème balistique dans le cas d'une résistance F (y) = BnV° (forme incompatible avec la fonction F(v) dans toute son étendue), outre son importance historique, présente de multiples raisons d'intérêt pratique : application possible au cas du tir des mortiers ; formules légitimes pour des régions limitées de la courbe F(v), ou pour des portions restreintes de trajectoires ; discussion de problèmes inabordables par une autre voie et enfin possibilité d'appliquer les méthodes de cette théorie au calcul par arcs d'une trajectoire quelconque où F (y) sera la fonction expérimentale réelle.
i5y. Équations différentielles du mouvement.
— Les équations différentielles du mouvement principal étant celles du n° 88, savoir :
d{v cos t) __ cvF dx— — — v'd-
^t i vdi: ^ ^ , j
al = , dy = V is:i d'z.
^r cosT "^ 5^
-2 34 RÉSISTANCE MO?iOME
L'intégration de ces équations donnera la solution du problème balistique.
On se donne les conditions initiales du mouvement*, -c'est-à-dire la vitesse initiale V^, V angle de projection a, le coefficient balistique c. Il s'agit de déterminer la trajectoire du projectile et la loi du mouvement sur cette trajectoire, c'est-à-dire de rechercber quelles sont, au temps t, les coordonnées x^y du projectile, la vitesse v au point x,j et Vinclinaison t de la tangente à la trajectoire en ce point.
Dans la théorie d'Euler, la fonction F(î;) prend la forme B^t'", B^ et n étant deux constantes. On posera en outre cBn = 6^-
L'équation différentielle de l'hodographe
d(v cos t) cv¥ deviendra donc
d(v cos t) 6n dz ~ g
La solution d'Euler dérive tout entière de la possibilité qu'on a d'intégrer cette équation différentielle. On a déjà dit (90) que cette condition était suffisante pour ramener le problème aux quadratures et que, si de l'équation de l'hodographe on pouvait tirer i; = ^*(t), les autres élémtînts de la trajectoire s'exprimaient en fonction de t, par les quadratures :
= -- /'V(^) -^ ; x = -- Pw^d-: ;
LA THÉORIE d'eULER 335
i58. Intégration de Thodographe. — Or, dans le cas actuel, l'intégra tion de l'hodographe est extrêmement aisée. Ecrivons en effet cette équation sous la forme identique
g d[v cos t) c?t
67 V'' "^ ^ COS" -^ ^ T ~ COS^ + ^T
et prenons pour variable la vitesse horizontale u = l' cos t. Il viendra :
g du d'z
'b^'ûr^^ cos"-^*T '
La séparation des variables se trouA'e effectuée et le problème est réduit aux deux quadratures de chaque membre.
D'une part, l'intégrale / ^ ^ a pour expression générale . D'autre part, posons, comme définition d'une fonction de t :
^°^^^~i cos^ + ^T •
Si on prend alors un arc de trajectoire défini à l'origine par les valeurs V^ et a et à son autre extrémité par les valeurs v et t, on obtiendra l'hodographe intégré sous la forme
i:-ïï- + ?»w-7l:i?r + w.
iSg. Expression de ÇnW- — Dans le cas où n est entier^ on peut exprimer ÇnW sous forme explicite.
236 RESISTANCE MONOME
Ecrivons, en effet
