X COS'^ + ^T X COS
COS"T
et intégrons par parties ; il viendra :
/ \ I / \ n sinT , S (t) =^ tfÇT -— ; [n — 1 ) / tff T — - d'Z
OU bien :
^ , . sinT , \ C' ^ — cos'^T ,
ç (Tj = [n — I ) I — — — d'Z
sinT . . Ç'd'z . . p d'Z
~'^^^~^'^~'ilo cos^+^T+^'^^'U cos--*T
d'où la formule de récurrence :
Mais d'autre part, on connaît directement les deux intégrales qui correspondent à n = o et a. n = i et qui sont ( 1 8) :
Uv = I
2—= tg-^-
On pourra donc calculer successivement et de proche en proche les expressions des fonctions Çn('^) pour toutes les valeurs entières de n^.
' A remarquer les deux expressions de Çn('c) pour n = — i etn = — 2.
Ç j(t) ^= f' cosx ctz = sinT.
TTJ
fl
LA THÉORIE d'eULER 23;
Ainsi on trouverait :
, , . C' (h sin T I , / t: t \
2W = / — = ^ + — Log tg — + —
./o COS' T 2C0S-T 2 \4 2/
rfr sin T
3 COST
COS'T
et ainsi de suite, les fonctions impaires ne renfermant que des lignes trigonométriques, et les fonctions paires
Les expressions générales de Ç^ ('^) peuvent d'ailleurs s'écrire de la manière suivante :
n pair :
cfw siuT
0 cos^+*T n
COS"t Al 2C0S'^~-T n 4C0S°"*T 2. 4... (ai 2)cOS-T
H 7^ ^Log% T + "" 2.4.../î \4 2
Al impair :
^'''' cA, COS"^^T Al
[ Al I I Al 3 I I 2.4. ..(/l l) I
COS"t Al 2 COS° ^T /l 4C0S'*~*T 1.3... (aI 2) COST
On peut observer que la fonction Çn (t) est une fonction impaire, qui change de signe, mais non de valeur absolue quand on change t en — t. Gela résulte des expressions cidessus ; car (pour n impair) §„ (y) change de signe comme le sinus, et (pour n pair) Çn('c) change de signe comme le sinus
238 résista:^ce monôme
- | 1 . Ce logarithme est évidemment
égal à — Log tg f -^ ;- 1 puisque la somme des arcs est — •
Ainsi donc, dans tous les cas où /i sera entier, on pourra, en portant les expressions précédentes de Çq (t) dans rintégrale de Thodographe, avoir une forme explicite de cette équation et, abstraction faite des difficultés ultérieures du calcul, obtenir, soit v en fonction de t soit T en fonction de v.
Si on veut avoir, non plus l'expression en termes explicites de la vitesse en fonction de t, mais seulement la valeur numérique de v on pourra, au lieu d'opérer, dans chaque cas particulier, le calcul de l'intégrale, dresser une fois pour toutes une table de la fonction Çn('^) correspondant à chaque valeur de n (de telles tables existent pour des valeurs de n jusqu'à n = 6).
i6o. Développements de Çn('c) en série. —
D'ailleurs si on suppose n fractionnaire ou quelconque, cas où l'expression en termes finis de l'intégrale Çn('^) n'est pas connue, on pourra toujours construire des tables analogues, en prenant par exemple pour base le développement de Hn('^) en série.
1° Si dans rintésrrale l ^, on remplace cos t par
son développement ^/o
COS T = I 1 ^—^ y , K r H
il vient, en intégrant chaque terme séparément,
I r I /i + 2 / 1 VI /
LA THÉORIE d'eULER 2 3^
Exercices. — i" Vérifier que pour n:=: — i , on a §,1(1) = t;. pour n = — 2, on a le développement du sinus ; pour /i = i ,. le développement de la tangente
2** On pourra obtenir une autre série en prenant pour argument au lieu de t la tangente tg t.
On a en effet: (h = ^-1- et 7- = 1 4- ter- t.
i+tgi: cos-T ' ^
Par suite
La formule du binôme donnera :
ÎLzl n — I , ' n — I n — 3 {a'^z
n — I n — 3 n — 5 tg^x
La valeur de Çn('^) sera donc la suivante en fonction de tg z :
n — I I n — I n — 3 1 tc:*T
Ç„(.) = fg.+ -^-j tg». + -^ . ^- . -^ ^
n — I n — 3 n — j i Ig^x
