T~ • 7 TT

Cette série a un nombre limité de termes si n est impair.

Démontrer l'identité de cette expression de Çn(') avec l'expression générale donnée au n° 139 pour /i impair (admettre que le théorème est vrai pour n et montrer qu'il est encore vrai pour (/i -f- 2) ; vérilier directement qu'il y a identité pour /i = 1 et n = 3).

24o RÉSISTANCE MONÔME

i6i. Étude de Thodographe. — On peut, dans le cas particulier actuel où on sait intégrer l'hodographe, retrouver directement toutes les propriétés de cette courbe établies au | i du Chapitre iv.

On écrira Tintégrale de Thodographe :

■;^+Ç„(t) = Q enposant Q=-X^+ç„(a).

Q est ainsi, pour un projectile donné (fe^ connu), une fonction des données à Torigine V^ et a.

La relation qui, dans l'intégrale, relie v, t et Q subsiste en chaque point de la trajectoire, de sorte qu'en donnant à a et Vo différentes valeurs corrélatives, on pourra obtenir diverses expressions ou définitions du paramètre Q.

a) Faisons par exemple V,, = oo ; le premier terme du second membre s'annule et en désignant par S la valeur que prend t, on a : Q = Ç^ (0). L'inclinaison définie par l'angle 0 correspond à l'asymptote de l'hodographe.

b) Faisons encore a = o ; on est au sommet de la trajectoire où u = V^ et Q satisfait à la relation

c) Cherchons directement la valeur de v au point

T = ', En ce point Çn(T) devient égal à — oo et

n~^ à + 00 ; l'expression de Q se présente sous la forme ( 00 — oo) . Écrivons identiquement.

9 , '^Çn(':)

nCOS°T

Jo^"^ cos~"t.

LA THÉORIE D EULER 24

La vraie valeur de l'expression — ' , qui se pré-

sente sous la forme — , s'obtiendra en prenant les déri- :

vées des deux termes, ce qui donnera — - — : — c'est-

^ ^ /lCOS~'*~'TSmT

à-dire — i , pour t =

On a donc , en ce point :

n cos" T

hjf^

Or le facteur -— tend vers oc pour t = .

/icos^T ^ 9.

Pour que le produit reste égal à Q, il est nécessaire que le second facteur s'annule.

Au point ( — j , on aura donc h^"^ = ^, ce qui est

bien la relation connue cF(y') = (/.

162. Théorème. — Si deux projectiles ont des coefficients balistiques différents^ mais même valeur de Q, leurs hodographes sont semblables.

En effet, on aura pour le premier projectile 6^? ^^ point (y, t) :

nFJfcô^ = Q — Çn W

et pour le second 6^, au point (i^^, t) :

n6;i>fcos'^T ^ '^^^^

d'où en divisant membre à membre : 6^ v"^ = b'^^v"]^

c'est-à-dire —

BALISTIQUE. l4

COS'^'^^^T

242 RÉSISTANCE MONOME

Ce radical est ainsi le rapport de similitude des deux hodographes.

D'après cela, les deux paramètres déterminant un hodographe sont (Q ou 8) et (6„ ou v', vitesse terminale.) La connaissance de ces deux nombres suffit pour caractériser complètement la courbe.

L'hodographe peut s'écrire en fonction des deux paramètres Q ei v' :

ncos^T w

+ inW == Q-

i63. Exercices. — Théorèmes à démontrer. — i° Si on

g rend sur la branche ascendante de la trajectoire et sur la ranche descendante les points d'inclinaison t et — t, on a entre les vitesses horizontales en ces points et la vitesse Vg au sommet la relation