II
Après le point — 0, associé du point -|- 6, on doit, pour étendre le théorème, considérer un point de la branche descendante et un point de la brancne isolée, ayant même inclinaison — t. On a alors :
ti I I (a, s'applique à la branche descendante)
Vg" M? «^^ (m- s'applique à la branche isolée).
2° Les points (v^j t,^) de vitesse minimum sont donnés par l'équation
^ ^^ ' «SmTCOS^T
Les trajectoires avec sommet exigeant que Q soit positif, trouver la limite de l'angle T,n où peut se produire le point de vitesse minimum pour ces trajectoires.
On a pour un tirhorizontal avec une vitesse infime, Q=o
d'où sin T cos" z ^Jz) = — •
LA THÉORIE d'eULER 243
On trouve les valeurs suivantes :
T„=9o<» 56o3o 45<> 38rio 34018...
3° Le point (wn, t^) de vitesse verticale minimum sur la branche isolée est donné par la formule :
ncos
4? Quand, pour un même projectile (b^ ou v' constant), Q varie, le lieu des points d'inflexion de l'hodographe (c'està-dire le lieu des points de vitesse minimum) a pour équa-
tion ( — 7 1 = sin T. Pour /i == i , c'est un cercle.
5° Dans les mêmes conditions (Q variant) le lieu des points (Vn, Tn) où la tangente à l'hodographe est verticale est la transformée par rayons vecteurs réciproques de la courbe précédente.
6^ La tangente en un point de la courbe des inflexions a pour expression tg I = n tg t.
7® Quand Q varie, la tangente au point d'inflexion de l'hodographe enveloppe une certaine courbe. Soit M le point d'inflexion, N le point où la tangente en M rencontre la
verticale ('^ = ;-) ; soit I le point où la tangente touche
son enveloppe. Démontrer géométriquement qu'on a IM I
§ 2. — Les trajectoires d'Euler
164. Expression des éléments d'un arc. — Nous avons vu que le problème balistique, en théorie réduit aux quadratures lorsque l'hodographe était intégré, Tétait
RESISTAIVCE MO?îOME
effectivement et immédiatement si on pouvait tirer de rintégralc de Thodographe v sous la forme v = ^^J) .
Or, cVsl ce qui a lieu dans le cas actuel où F(i'; = B^i'".
PuisquW a, en effet,
on en tirera, en remplaçant u par v cos t :
nb.
~in
COST
Q - in(')
En portant cette valeur de ^'(t) dans les équations du n** 88, il viendra le système suivant :
COST
cos d-:
-j;[Q-5nW]"
-Aq-ÇhW]"^
= -/\Q-in(T)]-^tgT
COS'T
Au moyen des quadratures indiquées dans les seconds membres, il serait possible de calculer une trajectoire particulière définie par les éléments initiaux Vy, a et c. Ces éléments suffisent, en effet, pour déterminer la constante Q et le calcul des intégrales pourrait alors s'effectuer par une des méthodes de quadrature que l'on connaît.'
Mais les calculs devraient être repris dans chaque cas particulier, de sorte qu'on serait loin, si la théorie se
LA THÉORIE d'eULER 245
bornait à tes formules, d'une solution vraiment pratique du problème. Une étude plus complète du sujet va permettre d'apercevoir de notables simplifications ; des relations très simples existent, en effet, entre les diverses trajectoires qui jusqu'à présent paraissent sans dépendances piutuelles.
i65. Trajectoire complète. — Les deux paramètres Q et 6^ étant connus, et reliés en chaque point de la trajectoire par Téquation de l'hodographe, les différents éléments de la trajectoire donnés par les formules précédentes ne dépendent plus alors des données initiales que par la limite arbitraire a de l'intégrale du deuxième membre. Ces formules sont donc propres à représenter, non seulement la portion restreinte de trajectoire située au-dessus de l'horizontale qui passe par la bouche de la pièce, ayant pour données à l'origine \q et a et limitée au point de chute, mais la trajectoire complète qui s'étend tant au-dessus qu'au-dessous du plan horizontal de la bouche.
On peut supposer le calcul de cette trajectoire effectué par des moyens quelconques de quadrature et les nombres qui en résultent mis sous forme d'une table qui aurait le double titre Q = ... et 6^ = ..., valeurs des deux paramètres caractérisant la trajectoire particulière étudiée.
On prendrait, par exemple, pour origine le sommet où on a :
et où on supposerait x = y = t = o. On calculerait
RESISTANCE MONOME
ainsi des arcs sur la branche ascendante par des formules telles que la suivante pour l'abscisse
nb
dz
cos
et les arcs correspondant à la valeur — t slir la branche descendante par la formule :
dz
COS
On pourrait alors calculer et dresser la table suivante :
Traiectoire ; ,
Branche ascendante
Sommet ,
Branche descendante. ;
Sô
y&Jt
Les abscisses, les ordonnées et les temps sont comptés à partir du sommet.
Cette table permettrait de calculer immédiatement telle portion qu'on voudra de la trajectoire (Q,6n), portion que définissent les deux valeurs t aux extrémités de l'arc ou deux valeurs de a?, y, / ou v. Pour avoir, par exemple, les éléments du point de chute de la trajectoire
LA THÉORIE d'eULER . 247
(Q,feji) qui a un angle de projection de 55°, il suffit de chercher sur la branche descendante la valeur y^ qui est égale à j^g pour obtenir dans la ligne horizontale tous les éléments nécessaires pour calculer le point de chute. On aura :
X=aîg5+a?-«; T==^g5+/«; t=— to; V^=î;
i66. Les deux familles de trajectoires d'Euler.
— Les éléments à l'origine V^ et a, particuliers à une trajectoire, ayant été éliminés par les considérations qui précèdent, on voit que toutes les trajectoires possibles ne dépendent plus que de deux paramètres Q et 6^.
^ On peut par suite distinguer toutes les trajectoires en deux familles dont la première sera définie par la condition Q = constante et la seconde par la condition b^ = constante.
Dans chacune de ces familles existe encore une infinité de trajectoires, mais qui ne dépendent plus que d'une seule variable 6^ ou Q, suivant que l'on considère l'une ou l'autre famille.
167. Similitude des trajectoires. — L'ensemble des propriétés communes à toutes les trajectoires de la famille Q = constante, constitue la théorie qu'on désigne sous le nom de similitude des trajectoires et que résument les théorèmes suivants :
i*^ Théorème L — V accélération totale en un point d'une trajectoire Q = constante^ ne dépend que de i inclinaison T de la tangente à la trajectoire en ce point.
En effet, l'accélération totale est formée par la composition de l'accélération tangentielle qui dans le cas pré-
