AB A.B

Ainsi les deux trajectoires sont composées d'éléments AB et A^B, semblables et semblablement placés. Elles sont homothétiques et leur rapport de similitude est :

Les vitesses en deux points homologues sont dans un rapport constant, égal à la racine carrée du rapport de similitude.

Deux arcs homologues sont parcourus en des temps t et t^ tels que :

3"^ Démonstration analytique. — Au lieu d'employer la voie géométrique ci-dessus, la similitude des trajectoires Q = constante, peut s'établir immédiatement en considérant les formules du n** 164.

Les seconds membres, en effet, de ces équations seront égaux pour deux trajectoires : 1® si Q est constant ; 2° si les limites a et t de l'arc sont les mêmes, c'est-à-dire si on considère deux arcs homologues.

En égalant alors les premiers membres des trajectoires 6„ et 6,'i, on trouve immédiatement le rapport de

a5o RÉSISTANCE MONÔME

similitude

utn.

pour les longueurs x et y et le rap-

port

pour les vitesses et les temps.

4** Théorème III (Réciproque). — Supposons deux trajectoires semblables et considérons deux petits arcs homologues inclinés de t sur Thorizontale. Soit K le rapport donné de similitude des deux trajectoires.

Les deux valeurs des rayons de courbure en t

et r^ = —

g cos T g cos t

donneront : — = K = -^.

Si on prend alors les deux équations de l'hodographe sous leur forme générale :

rffy cost) ^, . rf>, cost) ^, .

la relation — = y K qui rend égaux les premiers membres exige que cY{v) = c^F(y^).

5" Ceci posé, on peut démontrer le théorème suivant : La similitude de deux trajectoires n'est possible que dans le cas ou on admet que la résistance de l'air est proportionnelle à une puissance de la vitesse.

De la relation v = u^y/K, on tire en différeniiant logarithmiquement

dv dv,

m étant une constante.

LA THÉORIE d'eULER 25 1

De la relation cF(v) = ^i^i'^i) on déduit, en opérant de même

dF{v) dF(y,)

On pourra donc écrire :

dF , fm'\ m' dv

F \fn, I m V '