Intégrale de l'arc s dans le cas de n

— Le calcul des intégrales du n** 164 qui, dans le cas général, ne peut se faire que par des méthodes générales de quadrature, peut, dans le cas d'une résistance quadratique, s'effectuer par un procédé d'approximation spéciale et rapide, qui tient à ce qu'une intégrale, reliée facilement à celles du n° 164, peut s'intégrer immédiatement. Cette intégrale est celle qui donne l'arc s de trajectoire. , ,

On a en effet ds = vdt = d'où, dans

1 ' ' 1 Q COST

le cas gênerai, ^

nb^

Si on y fait n = 2, il vient

Or on a dSJr:) = ., .

■^ ^ COS* T

Donc

LA THÉORIE d'eULER 'iS'J

Remplaçant Q par sa valeur Q = ^.^i^) -\ ^— r -, il

viendra : ' ^

L'arc s est donc connu.

173.. Calcul de^ éléments d'un arc. — Pour calculer une trajectoire Q, Euler et après lui Otto, font le calcul par arcs successifs (qu'ils choisissent de faible amplitude) en prenant comme point de départ l'intégrale précédente qui donne s. Les formules qu'ils emploient sont les suivantes :

Soit un arc dont on connaît les tangentes extrêmes t^ et T et la vitesse v^ à l'origine. Les inconnues sont, au point T, les quantités u, oc, y et t,

a) Calcul de V, — La vitesse v sera donnée immédiatement par l'intégrale de l'hodographe

26ycos^T ^ ib,vl cos^ T, "^ ^^'^'"«^ ~ ^^^'^^

L'intégrale Ç j('^o) — '^■li'^) ^^* prise par une simple différence dans la table de la fonction 'è.^i'^)' Tout est alors connu dans le second membre ; v est donc connu.

b) Calcul de s. — La formule du n° 172

I + — ^ "0 cos^ -ï„ (Ç,(-:„) — Ç,(t

peut encore s écrire :

Lo

I v; cos^ Tq

-T- Log — ^