L.\ THEORIE D EULER

regard des inclinaisons t décroissant à partir de a, les vitesses v correspondantes.

Les autres intégrales du mouvement s'obtiendront aisément par les calculs successifs de :

^cosT g g ^

où les valeurs de v et de t recevront successivement les valeurs corrélatives du premier tableau.

Cette méthode exigera évidemment une division de la trajectoire en arcs très serrés.

2*^ L'intégration de Thodographe, soit par le procédé indiqué ci-dessus, soit par tout autre, ayant permis de dresser le tableau des valeurs corrélatives de v et de t, on peut appliquer à la quadrature des t^ x et y une des méthodes générales d'évaluation numérique des intégrales telles que celle de Simpson, ou celle plus rapide de Gauss et de Tchebicheff. C'est à ce dernier mode d'évaluation des intégrales t^ x et y que le L*-colonel Vallier a donné le nom de méthode des vitesses ^ .

3^ On obtiendra un procédé plus rapide que le précédent, c'est-à-dire exigeant une division de la trajectoire en arcs moins nombreux, en utilisant les développements en série de Mac-Laurin qui ont été donnés au Chapitre vi, | 3.

On prendra d'ailleurs tel argument qu'on voudra,

Comme ces développements en série représentent

* Balistique expérimentale, p. 49, par le Lt-colonel Vallier.

27a RESISTAIVCE MO:XOME

déjà, relativement aux équations différentielles, des intégrales du mouvement, qui au lieu de prendre en considération comme dans la méthode précédente seulement la valeur F^ à l'origine de Tare, font intervenir des dérivées successives FJ,, Fq , ce deuxième procédé sera bien préférable.

i85. Première méthode fondée sur la théorie d'Euler. — Le principe du calcul de la trajectoire par arcs en employant la théorie d'Euler, est fort simple : partager la courbe qui représente la résistance de l'air en éléments d'étendue assez petite pour que, dans l'intervalle des vitesses aux extrémités d'un arc convenablement choisi, on ne commette pas d'erreur sensible en considérant la résistance comme proportionnelle à une certaine puissance n de la vitesse.

On divisera la trajectoire en arcs assez petits, définis par leurs inclinaisons initiale t^ et finale t de manière à ce que la variation des vitesses de v^ k v soit faible.

D'ailleurs, qu'on emploie la loi de la i'®, de la 2®, de la 3® puissance, etc., le résultat sera le même et aussi exact dans un cas que dans l'autre, en s'astreignant à un choix convenable de l'arc, dont l'amplitude pourra d'ailleurs varier avec l'exposant choisi. L'exactitude de ces méthodes est donc théoriquement illimitée.

Ceci posé, chaque arc pourra se calculer soit en répétant pour cet arc où la résistance varie suivant la puissance n de la vitesse, les calculs qui ont servi à l'établissement des tables du présent Chapitre, soit en utilisant ces tables elles-mêmes.

Ainsi, si on considère la loi du cube^ on pourra uti-

LA THÉORIE d'eULER 273

liser les tables de Bashforth ( 1 8 1 ) , qui ont été d'ailleurs calculées en vue de la décomposition en arcs d'une trajectoire quelconque-: on doit utiliser les tables dites de « première espèce ».

Soient donc (i^^Zq) les données à rorigirie de Tare, et

F(iO B3 = — Y^ ; le coefficient B3 de la loi du cube sera pris

àans une table numérique analogue à celle qui a été définie

(11) et qui donnera — \^ . Le coefficient B3 est supposé

constant dans l'intervalle v^ à v^ et on a cB^ := 63.

Les trois quantités ^0,^0, 63 permettent (181) de déterminer le paramètre de forme y,, des tables de Bashforth. On lira dans la table qui porte y^ comme entête des nombres proportionnels aux éléments et la fin de l'arc.

Le paramètre de grandeur qui est la vitesse au sommet Vg sera déterminé par l'équation

On passera ensuite à l'arc suivant dont les données à l'origine seront t,, la vitesse v^ qu'on vient de calculer et 63 = cBg, Bi étant le nouveau coefficient de la résistance de l'air qui convient maintenant pour le nouvel

arc et qu'on prendra dans la table de la fonction — ^ .

On pourrait d'ailleurs sur une même trajectoire et suivant les régions de la courbe F(f), utiliser tantôt n = I, ou n = 2y '6 ou 4 à condition d'avoir des tables de première espèce pour chacun de ces exposants.

i86. Méthode de Gâvre. — Dans la méthode de calcul des trajectoires par arcs employée à la Commission de Gàvre, on adopte comme loi de résistance la loi quadratique^ mais on répète pour chaque arc les calculs qui ont servi au G*^ Otto à la coAstruction de ses tables.

Le coefficient B^ que l'on suppose constant sur chaque arc est donc égal ^f\v) du n° ii.

Les calculs sont rendus simples et rapides grâce à la possibilité d'intégrer Tare s par une équation qui introduit la fonction '%J(z). Ils sont conformes à ceux donnés aux n°® 1^2 et 1^3.

Le choix de la division en arcs doit satisfaire à deux conditions : Tune qui tient au principe même de la méthode exige que V intervalle des vitesses du commencement à la fin de chaque arc soit assez faible pour qu'on puisse, sans erreur sensible, remplacer la variable y(t') par une constante. L'autre tient au procédé particulier admis pour effectuer les calculs et qui est basé (la valeur de s étant connue par une intégration rigoureuse) sur la substitution d'une droite à l'arc de courbe dans l'évaluation de a: et j ; il faut donc que Yamplitade de tare ne soit pas trop considérable (i8o).

187. Considérations générales- — Les méthodes précédentes permettant de calculer telle trajectoire qu'on voudra, on pourrait imaginer tous les cléments utiles de toutes les trajectoires possibles réunis sous forme de tables ayant naturellement trois arguments c,Vq et a. La solution numérique du problème balistique serait complète et présenterait l'exactitude maximum compatible avec nos connaissances sur la loi de résistance de l'air.

Ce recueil numérique qui embrasserait ainsi toutes

LA THEORIE D ELLER 275

les tables de tir de tous les canons et qui permettrait de les obtenir piar de simples interpolations, aurait naturellement une étendue très considérable et exigerait un travail de calculs énorme, car déjà le calcul d'une seule trajectoire est long et laborieux et le nombre des trajectoires à calculer, pour s'étendre jusqu'aux limites entre lesquelles se meuvent en pratique les variables c, V^ et a serait fort élevé.

Mais faisons abstraction des difficultés matérielles et admettons que de telles tables aient été calculées (et il y a eu effectivement des tentatives dans ce sens^). Pourrait-on réellement les considérer comme une solution du problème balistique ?

Tout d'abord, dépendant exclusivement d'une certaine loi de résistance de l'air, cette solution numérique mériterait les mêmes critiques qu'on peut adresser à la loi choisie : n'être pas démontrée rigoureusement, être en quelques points douteuse au point de vue expérimental et n'avoir enfin aucune généralité puisqu'elle ne s'applique qu'à des projectiles d'une forme particulière d'une certaine Artillerie. Aucune méthode générale, aucune connaissance réelle des lois du mouvement ne ressortiraient de ces tables qui seraient analogues à un recueil de nombres bruts, résultant de calculs expérimentaux, nombres qu'on aurait classés par ordre de grandeur et régularisés, mais qu'aucun autre lien ne paraîtrait réunir.

C'est une véritable obsession pour l'esprit de savoir que des nombres qu'on voit se dérouler indéfiniment

* Voir « Historique de la Balistique Extérieure à la Commission de Gâvre » par le Gt P. Charbonnier. Revue Maritime, 1906.

^76 RESISTAl^îCE MONOME

dans une table ont entre eux des relations certaines et mathématiques et de ne pas savoir quelles sont ces relations. On veut connaître les lois qui gouvernent ces nombres et quand la connaissance exacte et entière en paraît impossible, les efforts se portent vers une solution approchée qui peut déjà jeter quelque lumière sur leur enchaînement.

Ce besoin de théories explique pourquoi la solution pourtant rigoureuse d'Euler, mais qui se présente sous forme d'une table numérique a, de tout temps, paru insuffisante et pourquoi de si nombreuses tentatives ont été faites par des géomètres comme Borda, Legendre, Français, Bezout, Greenhill et en dernier lieu M. de Sparre pour ramener à des fonctions connues l'expression des différents éléments d'une trajectoire dans le cas spécial d'une résistance proportionnelle à une puissance de la vitesse.

L'emploi si laborieux du calcul des trajectoires par arcs successifs et la solution numérique aussi approchée qu'on veut, qu'il est possible d'obtenir par ce calcul, doivent donc être réservés à deux cas :

Le premier est celui où la théorie se déclarerait impuissante pour résoudre un problème qui sortirait des limites où elle est légitimement applicable.

Le second est celui où le calcul par arcs, grâce à sa précision et à l'absence de toute hypothèse peut servir à vérifier l'exactitude pratique d'une théorie où cer- ' taines simplifications ont été faites dans l'énoncé général du problème et dont on fera l'application numérique en employant la même loi de résistance que dans le calcul par arcs.