i^' - Log î
On voit que t' et y' deviennent infinis à cause de Log !J, qui y figure, mais que x' est fini et prend la valeur
iC' =^
La trajectoire a donc la forme de celle représentée ci-dessus i > A > — (fig. 64, forme II).
1 94 • Mouvement sur un plan incliné, avec frottement ^ — Si un mobile de poids p se meut, avec w frottement sur un plan incliné, les compo- /^F\ santés de son poids sont normalement au ^ — plan p cos / et clans le plan p sin i. Les deux
Fig. 65. forces qui agissent sur lui sont donc pf cos / pour le frottement, p sin i pour la gravité. Le
cF
rapport = h des théorèmes précédents a pour exprès-
sion h =fco{g i. Si '^ est Tangle de frottement, tel que i'r^ ? = f, on di h= -^-4- .
' Erratum à la figure 65. Au lieu de l'angle T lire l'angle i.
RESISTANCE MONOME. LES CAS INTEGRABLES 287
h varie ainsi de ft = oo pour tg « = o (cas du mouvement rectiligne avec frottement étudié antérieurement,
(52)) kh = o pour tg i = 00 c'est-à-dire {= — (cas du mouvement dans le vide).
On obtiendra ainsi successivement en faisant varier l'inclinaison i toutes les trajectoires discutées plus haut et dont les formes varient par degré insensible à partir de la ligne droite (f = o), en passant parla forme I (fig. 63) avec point d'arrêt (i < cp), puis par la forme II (fig. 64),
avec asymptote verticale ( tg i ^ 1? 'f ^ — ^g 0 t ^^ enfin
par la forme III (fig. 64), avec branche descendante
parabolique ( tg cp < — tg ij ; cette dernière trajectoire se
rapproche de plus en plus de celle du vide qui correspond à tg i = 00 .
I 2. — Résistance proportionnelle a la vitesse
195. Équations finies du mouvement. — Dans le cas d'une résistance proportionnelle à la simple vitesse, le problème balistique peut être poussé jusqu'au bout et la solution complète peut en être mise sous forme de relations explicites entre les différents éléments de la trajectoire. Cette solution est d'ailleurs connue depuis longtemps.
On suppose donc F[v) = Bj i>^ et on pose cB^ = b^.
L'intégrale / — ^^^ devient pour n = i
»./o COS T
Jo COS'^T
288 RÉSISTANCE MOîîÔME
et réquation difTérentielle de Thodographe
g du d'z
b^ u^ COS^T
s'intègre immédiatement sous la forme :
tga+-/- = tgT+ T^ = Q.
fe.w,. b,u
Les autres équations difïérentielles du mouvement, étant en fonction de u et r les suivantes (88) :
, u di , u^ dx j u" o?T
g cos T g COS T ^ cos-T
elles deviendront, en y remplaçant — ^ par ~ — ^p et
l . cos^T^ 6j a^
tgT par [ Q — j^ j et intégrant :
^ '~ bju, u} ~^ b^ u
bJ^-T^ =Logi^
Jvlq u ° u
b^x = — I du =
''^=-C(Q-6fïr)^« =QK-«)-f-Logi«
On a ainsi tous les éléments de la trajectoire en fonction de la variable u.
Mais les formules précédentes permettent d'exprimer immédiatement u en fonction de toutes les autres variables, y excepté. On pourra donc obtenir quatre systèmes de formules où les variables seront une des quatre
RÉSISTANCE MONOME. LES CAS INTÉGRABLES '^89
lettres u, x, t ou tg t. Ces systèmes sont les suivants :
Variable u
tgT
Log-^
Variable t
lut
tgT^Q
bj = Qu,{i-e-'")-gt
Variable t
'M=Logy«o(Q— «g-)
bj=Q
« 6,Q-tgTj
|Log-iu„(Q — tgx) Variable x
Uj
bj^x
— Log 1 I
6 j = Qb^x
-^ Log ( I
