VARIATION DE LA DENSITE DE L AIR

b) Ceci pose, la courbe K partage le plan yOt' en deux régions. Soient y^ l'altitude du point O, origines du mouvement, \q la vitesse initiale du mobile, \j la vitesse correspondant à la même altitude y^^ sur la courbe K; la vitesse \^ est la vitesse terminale correspondant à fallitude y^^.

i3. Discussion du mouvôment — On distinguera trois cas :

Premier cas. — On a \p < \^.

Le mobile part d'une position telle que ^. Puisque Vq < \, on aura

et, par suite, 1 équation

fly

il — cil +/i'y)"^F

montre que la vitesse v croît quand y croît. Le secojid terme du second membre croissant par ses deux facteurs et pouvant le faire au delà de toute limite, il arrivera un moment où Téquation

(1 — cil -\- /iV/^F = o

J5era satisfaite. Ce sera en P, au passage de la courbe K, et la vitesse v présentera alors un maximum.

Montrons, en effet, qu'en ce point la dérivée seconde est négative. On a :

i8 l'atmosphère

dv ce qui, pour ->— = o, se réduit à

l^e second membre est toujours négatif.

Vu passage en P de la courbe K, la tangente à la cpurbe {i\y) sera verticale. Cette courbe (t',j) ne traAersera plus ensuite la courbe K et tendra vers y infini.

Ainsi donc, la vitesse terminale, dans le cas dune densité variable avec l'altitude, est nulle. Le projectile n'atteindra cette vitesse nulle qu'après un parcours de chute infini [à moins que la fonction F ne renferme un terme de frottement indépendant de i^].

Deuxième cas. — Oaz a V^ > V^.

Le mobile part d'une position telle que M.

La vitesse commence par décroître ; la dérivée pren)ière ne peut s'annuler, parce qu'il s'agirait (d'après la dérivée seconde) d'un maximum. La courbe (v^y) tend donc vers les y infinis avec une vitesse terminale nulle.

Troisième cas. — On a V^ = V^. Le point représentatif serait en Q. A l'origine, on a -7— = o; de

ay

sorte que le mouvement commence par être uniforme. La courbe {v^y) est ensuite intermédiaire entre la courbe M et la courbe N .

i4 Point de résistance maximum — Le point P où la vilesse du projectile passe par un maximum n'est pas cependant le point de la trajectoire où le

VAIUATIOX DE LV DENSITE DE L AIR 19

projectile éprouve la plus grande résistance de la part de l'air.

L'accélëralion de cette résistance a pour expression, en un point :

- . H = c(i +/i'j)"FtV

et nous nous proposons d'étudier les variations de cette fonction .

D'abord, la résistance R est nulle au point J = 7-7

011 le projectile entre dans l'atmosphère.

La dérivée -7— a pour expression :

flK c(i4-h'vY'-^

7^—^ ^/' [mAVF+(,+A'y)F(<ir-c(.+A'y:,"F)]

Cette expression s'annule pour y == jj . La

courbe (R,y) part donc tangentiellement à la verticale (fig. 2).

Lorsque la vitesse v a atteint son maximum, qui est défini par la relation

on a :

(l]\ mh'(j

R =(j et

dy 1 + h' y

La dérivée est positive et R croît encore. La dérivée . croîtra jusqu'à la valeur qui annulera le crochet de la

formule donnant —7— , c'est-à-dire (jui satisfera à l'équalion :

mh'v¥ + (i + h' y] FVy —c[v-\- k'yf' F) = o.

20 L ATMOSPHERE

(iC point correspond au point d'inflexion de la courbe des vitesses, car on a :

dv

et, par suite, au point d'inflexion

(Pv rfR dy

dp

le second membre s'annule avec

dy dt

dy

On peut écrire encore, au point de résistance mmi

muni :

,^ mkvV

Après le passage par le maximum, H décroît ; mais

sa valeur ne peut pas devenir égale à ry, sans quoi on . dv

Vitesse Max.

aurait

dt

o, et par suite

■AHésistanceMax. la vitesse passerait par un

minimum, co cpii n'a pas lieu.

D'ailleurs il est aisé de j,-„ 2 montrer que pour y = oc

cl V = o, la limite de 11 est égale à y. On écrira à cet efiet :

R = cil

en négligeant l'unité devant le nombre li^y qui tend

VARIATION' DE LA DENSITÉ DE l'aIR il

vers l'infini. Donc, pour trouver la \aleur de cette fraction de forme — , on écrira :

hm R = t/y«« + 1 = J'y'" H iL

Comme, d'après ce qui a été vu, on n'a pas lini U = oo, il est nécessaire, dans le second membre où v tend a ers zéro, que le numérateur [g — lim R) tende vers zéro. Donc : lim R= r/.

ij. Étoiles filantes et bolides. — Les théorèmes précédents permettent de donner de la luminosité des étoiles filantes et des bolides, une explication plus précise que celle qui est admise, en général.

« On est ainsi conduit à admettre que les étoiles fdantes sont de petits corjis obscurs circulant autour du soleil à la façon des planètes et des comètes. Dans ce mouvement, ils rencontrent l'atmosphère terrestre dans laquelle ils pénètrent et qui oppose de la résistance h leur déplacement^. Leur vitesse diminue, et une partie de leur force \i\e est transformée en chaleur : un calcul facile montre (pie l'élévation de température qui en résulte est sullisante pour porter à T incandescence les matériaux de leur surface et même pour les fondre. C'est ainsi que ces météores deviennent rapidement lumineux : si les corps sont petits, ils brûlent complètement et la fm de la conmustiou coïncide avec la disparition de l'étoile filante *. »

Si on considère, pour simpliiier le problème, un bolide

rencontrant l'atmosphère au point j ="77> avec une vitesse

dirigée vei-s le centre de la terre, son mouvement jusrpie-là unilbrmémcnt accéléré, va changer de caractère. Sa vitesse sera représentée par la courbe NP de la iigure i (i'j.) avec un maximum de vitesse en P.

* Tisser v>D et A:siK>Ti:n, p. 9.1 1.

4if

2 2 L ATMOSPHERE

Mais la résistance que Tair lui oppose sera donnée par la courbe de la ligure 'i (i \) avec un maximum en C.

La température que va prendre le corps résulte de l'action simultanée de deux causes :

1** h' échauffement dû à la résistance du milieu, et qui correspond à une transformation de force \ive en chaleur; cet échaulfement est proportionnel à la résistance cF(v) dû au milieu et inversement proportionnel au volume du corps.

'2° Le refroidissement par le contact de l'air qui entoure le mobile ; il est proportionnel à la surface du mobile et à la quantité d'air qui vient au contact, c'est-à-dire à la vitesse v du corps.

Or, supposons que le corps soit venu à T incandescence en un certain point situé en amont du point de résistance maximum. Apres le passage par ce point, Véchauffemenl, comme la résistance, diminuera très vite, la fonction ¥{v) étant proportionnelle à la puissance n de la vitesse ; le refroidissement diminuera aussi, mais beaucoup plus lentement, puisqu'il est proportionnel à la première puissance de la vitesse.

On conçoit donc bien que ce dernier elfet pourra ramener le corps à une température inférieure à celle qui correspond à l'incandescence et que le l)olide s'éteindra, sans pour cola s'être comburé entièremenl, connue on le suppose d'ordinaire. La portion de trajectoire illuminée sera ainsi située de part et d'autre du point G de résistance maximum (i ',), commençant en a^ et finissant en a^ (Fig. •!). Dans cette région, il y aura un point de maximum d'éclat.

D'ailleurs on peut admettre ou ([ue l'impression sur la rétine dure assez longtemps pour qu'un trait de feu paraisse

1)ersister après le passage en ce point du corps du bolide ou )ien que celui-ci émette des gerbes d'étincelles qui le suivront dans le champ acoustique^ qu'il crée dans l'air. Pour les vitesses v très grandes du bolide (5o km. environ) considérées et pour la l'aible \itesse a du son, dans les très hautes, très peu denses et très froides régions de Talmosphère, le

' Cl.. 3.

VARIATION DE LA DENSITÉ DE L AIH ai

sillage du bolide [dont le ij-i angle 9 au sommet est donné par la formule sin cp = — I sera très peu ouvert et l'apparence de la traînée brillante se réduira à celle d'un très étroit ruban, dont l'éclat lumineux ira en se dégradant du centre aux deux extrémités.

Quant au bruit produit par un bolide qui s'approcliera notablement de la surface terrestre, il n'y a point lieu d'en chercher la cause dans son éclatement dans l'air. On percevra seulement le passage par l'oreille de son onde sonore ; celle-ci émane du centre sonore de l'observateur, dont on

sait déterminer Içi direction par la relation cos o = — .

§ 3. — Les puophiétés des trajectoires

DANS UN milieu DE DENSITÉ VARIAHLE