Équations différentielles du mouvement
— Quelques-unes des propriétés générales des trajectoires qu'on établit par la discussion des équations différentielles du mouvement* se trouvent assez notablement modifiées quand on suppose que la densité do l'air varie avec l'altitude.
Dans le cas de A variable suivant la formule Ay = Aq(i — /i'j)'", une seule des quatre équations différentielles du mouvement (5), celle de Thodographc, se trouve modifiée. On les écrira alors ainsi qu'il suit : •
V (k fj cos T
' Cil., 6, cil.
-^-—^ '- = — f I — h'y] •" : (lx==
(ly = {fy-zik.
24 l'atmosphère
Les quatre théorèmes principaux qui permettent de comparer la trajectoire (A variable) et la trajectoire du mouvement principal (A constant), sont les suivants :
17. Théorème I. — La trajectoire A variable, a, au point Q (y = 00), sur la branche ascendante, les mêmes propriétés que la trajectoire A = const.
On sait : i"" que celle-ci admet toujours une tangente au point Q inclinée sur l'horizon d'un certain angle B ;
a"" Que le point Q. est rejeté à Tinfîni ou est au contraire à distance finie suivant la valeur de la fonction D(oo ).
a) Supposons que la vitesse du projectile soit très grande, et que g devienne négligeable devant la résistance cY{v) et à plus forte raison devant la résistance c(i — /i'j)'"F, formule où y est négatif.
La trajectoire dans la région voisine du point il, où on veut l'étudier, sera, à très peu près, une ligne droite.
L'équation de ce mouvement rectiligne suivant une droite inclinée de l'angle 9 sera :
— =z — Cl — /i'v ""F
Comme il s'agit de régions où y est négatif et très considérable, l'unité sera négligeable devant h' y qui tend vers l'infini; d'autre part y sera égal à 5 sinQ (avec 9 diflérent de zéro, parce que, d'après la relation dx --= 4- dx. T croît dans le sens des x néga-
tils;.
On aura donc
!^^c(/i\sin9)'".s--F(i;;
VARIATION DE LA DENSITE DE L AIll
d'où :
s'^ds = —
vdv
c(/i'sm6)" F(v) LMntégrale en sera :
joa + l
c (A' sin ô)
[dW-d(v,)].
Par suite, m étant positif, le chemin parcouru s est fini ou infini suivant que la fonction D(oo ) est finie ou infinie, c'est-à-dire exactement dans les mêriîes conditions que dans Thypothèse de A constant (fini si l'exposant n > 2, infini, si n ^ 2) \
6) Pour trouver l'inclinaison au point Q^ écrivons l'équation de l'hodographe développée, sous la forme :
^^ ^ [sinT 4- - ( I — AV)- Ffv)'^.
rfT
cos
ce qui, à cause de la petitesse de i devant h'yj peut s'écrire :
dv 1^
COST
sine + -(, -(/t'y)») F(«)
De cette façon, on pourra opérer comme dans le cas de A constant * et écrire :
dz
c yF cos T
smT
cF
di
COST
En intégrant et remarquant que la parenthèse du
* Cii., 6, p. 179.
* Cii., 6, p. 148.
•26 , l'atmosphère
deuxième inenibre est toujours finie et que y =■ 8 sin 0, on écrira :
" / // -n + / ^ 'i s"i ^J ^^ ' «f' -^ -^— = 1^ Log tg - + - + const.
Mais comme
dy = sin ^ ds = tgT (/t,
le second terme du premier membre devient :
,j f Èll 'h' sin 9 ;-V» t •^J sm- ' ' v^
On a d'ailleurs :
7i' sin 0;'».v- r/À- = J^-
11 viendra donc, pour l'intégrale complète:
I /•/ sinO\ dv , , /t: t\
Or, la parenthèse sous le signe / est toujours finie. Donc si, comme on le suppose toujours en Balistique, la fonction
est finie pour v ■=- oc, le second membre reste fini etx,
à la limite, reste difTérent de — ,
Ainsi la tangente au point il de la branche ascendante est inclinée^ même dans le cas d'une densité croissant indéfiniment dans le sens des y négatifs.
