VARIATION DE LA DENSITE DE L AIR

c) On verrait dé même que les autres propriétés relatives au temps et à Vasymptoie au point Q sont ré^îloes encore par les fonctions S ;' oo) et A (oo ;.

18. Théorème II. — La vitesse terminale sur la branche descendante est nulle, quand la densité de tair, variable avec t altitude^ devient infinie pour les y infinis négatifs.

En effet, si la résistance de Fair devient nulle cwec la vitesse, la trajectoire ne peut s'arrêter brusquemeni en un point quelconque, à distance finie, car la pesanteur ne cessant pas d'agir, ferait tomber verticalement le mobile et la vitesse ne serait nulle qu'un instant.

D'autre part, la tangente au point à Tinfini de la trajectoire ne peut pas être inclinée.

Considérons, en eflcl, en un certain point M de la branche descendante, la trajectoire A constant (avec le A du point M) et la trajectoire A variable ; celle-ci (|ui correspond sur la partie en aval de M à un coeflicient balistique plus grand sera, d'après un théorème connu \ au-dessous de la trajectoire A constant.

Donc, elle ne pourra couper l'asymptote verticale de

celle-ci, et elle admettra — pour limite, à l'infini, de l'inclinaison t.

Par suite, le mouvement vers la lin de la trajectoire A variable, se confondra sensiblement avec le mouvement vertical descendant, lequel ainsi qu'on l'a vu (i3), admet une vitesse terminale nulle.

Comme exception à ce théorème, il faut signaler que la branche dcscenaanle peut èU'c finie, dans les mêmes condi-

28 L ATMOSPHÈRE

lions que la hauteur de la chute dans le mouvement vertical (i3), c'est-à-dire si la résistance contient un terme de frottement qui ne s'annule pas avec la vitesse. Le projectile, quelque soit son poids relativement à l'air dont la densité a augmenté de plus en plus, devient alors, pour une altitude négative suffisante, comme une poussière en suspension indéfinie dans le milieu.

If). Théorème III. — Sur la branche descendante de la trajectoire^ il existe y après le minimum de vitesse^ un point où la vitesse du projectile passe par un maximum.

Les points où s'annule c/u, et où par suite v est maxi-* mum ou minimum sont donnés par l'équation :

smT -I (i — h'y)'^Y[v)

dx COS T

Au sommet, la quantité entre crochets se réduit à

— (i — /iTs)°* F(Vs) et par suite rfu et dx sont de

même signe. Donc v décroît.

Après le sommet, sinT croît; F (y) décroît et (i — h'yY"^ croît ; mais le produit :

décroît, car on a :

^ = (I h'fr F' -^ - mh' (, - h'rr-^ F -^ .

Le premier terme du second membre est du signe

dv ' . .

de -j— donc positif. Le second terme s'annule au

^'^ dy Vsommet (t = o), avec -v: = *c"- Donc dz

VARIATION DE LA DENSITE DE L AlU 29

et d'z sont de même signe et z décroîl comme t.

Ainsi donc, des deux facteurs du crochet, le premier sin T part de zéro et augmente en valeur absolue jusqu'à — I, en étant négatif; le second diminue et a pour limite + i puisque la résistance c(t — /i'j)'"F tend vers g pour y = oo ( 1 4) .

Comme on n'a rien spécifié dans ces démonstrations générales sur la grandeur du facteur h'\ on ne peut dire à priori si le crochet s'annule, en produisant u!i minimum de vitesse.

Maison peut affirmer que si ce minimum se produit, il devra ensuite exister un point où la vitesse passera par un maximum^ puisque elle tend vers zéro pour J == oc.

20. Théorème IV. — fl peut exister sur la branche descendante des points ou la résistance de l'air est minimum et MAXIMUM .

La résistance R a pour expression c(i — /iV)'"F(i'). Cherchons les variations de cette fonction. On a :

</R / i, N.., , F/ 1 / N T^/ dv mh' ^,, n

= f ( I — /i V" '' ( I — h' y") V -r--\ v^V IgT I .

Au sommet, le crochet se réduit à son premier terme qui est positif puisque dv et d'z sont de même signe (19). Donc R décroît en même temps que t.

Si la vitesse passe par un minimum, qui corres-

, dv pond il -j- = o, le premier terme du crochet s'annule, le second est négatif; donc R croît. Par suite, entre le sommet et le point de vitesse minimum, R est passe par un minimum. Dans le cas d'une atmosphère

L ATMOSPHERE

(le densité constante ce point du minimum de R est confondu avec le point du minimum de vitesse.

La résistance continuera à croître au passage par le

dv point de vitesse maximum où -7— s'annule.

Comme la limite de R est </, il pourra se présenter deux cas : ou bien, après le passage par le point de vitesse maximum, R continue à croître assez pour dépasser j, et il y aura alors un maximum de résistance ; ou bien R tend directement vers g sans jamais dépasser cette valeur et il n'y aura pas de maximum.

Le premier cas se produira, en particulier, lorsque la branche descendante sera presque verticale, depuis le sommet, et se i-approchera du cas du mouvement descendant traité plus haut (14) et où se produit toujours un maximum de résistance.