PROJECTION
l'ig. 1).
Exercice. — Étudier les branches ascendantes (en amont de l'origine) des trajectoires ( — "w) et (+ w).
4^. Application. — On suppose un projectile lancé horizontalement et soustrait à Vaction de la pesanteur dans un air où souffle un vent Al, de vitesse ( — "w) et de direction 'C. Quelle sera la trajectoire du projectile (flotteur lancé dans une eau courante).
66 l'atmosphèbe
Le vent venant de l'avant, Tanglc ^sora défini par la rela- Xion
. p W sin ^
, '^p— Vo+wcosr
La vitesse V^, dans la direction ^, [sera donnée par la formule
V;^ = Vo^ + w- + -iwVo cos K-
Fig. i(î.
Prenons, connne axes de coordonnées, O2', direction du 'vent et Ox\ direction ^. Dans ce système, les coordonnées d'un point {z'^x') delà trajectoire seront données par les relations :
z' = PQ =,w/' et x' = OP,
ou bien, d'après les formules du mouvement rectiligne * :
.. D(^') - D(V.:) . ., . ^ Sjv') - S(V^)
r^es deux coordonnées sont fonction de la variable indépendante v' dont l'élimination donnerait l'équation de la trajectoire,
Exercices . — l '^ Discuter le mouvement . — Forme de la trajectoire. — Le projectile tend à prendre une vitesse rectiligne et uniforme, équipoUente à celle du vent. — Forme hyperbolique ou parabolique suivant la valeur-limite des
* Ch., 6, p. 74.
VENT ATMOSPIIÉRIQLE
i'oiiclions balistiques D et S pour i/ = o. — Cas où le flolleur lancé d'une rive pourra atteindre l'autre.
'2° Cas d'un vent JK.
V Si on fait F(u) = B„i>^^ et cB^ = fe^j, il viendra, d'après l'expression des fonctions balistiques D et S*.
'(/l— 2)6nX'V'»-2 + l]«-l =
VT
Pour II = 3, on trouve la parabole
47. Cas où vrest très petit. — i*^ Dans la plupart des tirs, la vitesse "W du vent est très petite relativement à la vitesse horizontale du projectile, de sorte qu'on peut négliger vr- devant 11^^ et à plus forte raison devant V^. Les formules du n*^ 44 se simplifient alors et deviennent :
V,.cosa
tir î/' — fo' ^
vr cos ^" Yq cos a
:rT- COS a cos l.
Posons alors, comme conséquence corrélative de l'hypothèse faite :
a'=:a+da et Y^^ = V^+ùV,.
da et OVq étant des corrections très petites, il viendra :
vr
Oa = — cos !J sin a.
OVq = — "w cos Ç cos a
' Ch,, 6, p. 81
L ATMOSPHERE
Si X est la portée de la trajectoire (V 01^)7 l^i portée X' de la trajectoire (\J^cx.') sera donnée par la formule :
dX .,. ôX ^ V = X + -^^^ 0\, + -^— Oa.
da
et les formules du n'' 4^ deviendront :
■w cos Z.
dX . ., , dX ■
W cos!^
rp X
Ou encore, en négligeant des termes en "W^, et en désignant par E^ la différence des deux portées, X^ dans l'air agité et X en air calme :
(vent .î\ , vr positif)
E^ = w cos ^
- dX ^ . ÔX
0\' OOL
E,. = -w sin t;
On a, en outre, pour la durée du trajet qui est la même que sur la trajectoire (a + ôa, \q + d\\) :
E^, = -w cos ^
ôT
cos a
ÔY
s in a ôT "
da
2° Dans riiypothèse de "W petit, les composantes "Wcos J^ et "Wsin^ du vent agissent séparément, la première modifiant seulement la trajectoire dans son plan, la deuxième produisant Técart E^ hors de ce plan.
Les deux autres variations des éléments du point de chute, à savoir E,,, de l'angle de chute, et E„ , de la vitesse
VENT ATMOSPnÉRIQtE 69,
. restante horizontale, seront données en conséquence par .les formules :
K,. = -w cos Z
sin (o cos (o . Ooj sin a dtu "1
cos a
E., == — w cos ^
Dw^, sin a Ow,., I + cos a
tW„ V, do.
obtenues en combinant la correction de la trajectoiie (a + ôa, Vq + ôVq) avec le mouvement relalif — w cos JJ dont est animé le point de chute.
On établirait des formules analogues pour un aulro point de la trajectoire, le sommet, par exemple.
Remarques. — i*^ Dans Ex, on peut remarquer ([ue le
ôX sin a ÔX , . , , ...
terme — cos a -^ 1 y^ ^ doit être negatil ; car on
a toujours Ex < W cos 'C. L'égalité Ex = "W cos 'C, supposerait, en effet, que le projectile est entraîné par l'air, 'avec la vitesse même du vent, ce qui n'a lieu qu'au bout d'un temps indéfini.
îi" D'après le raisonnement fait pour établir les formules simplifiées, elles ne seront pas valables pour le cas d'un tir sous un très grand angle où la vitesse horizontale u,) du projectile devient petite et comparable à la vitesse du Nciit "w.
48. Sur l'écart latéral. — Le projectile est entraîné perpendiculairement au plan de projection avec une vitesse :
rlEa (l^ ' ^ ( '*
^= -j- = w sin s I
It dt \ w„
Cette vitesse est nulle à Torigine du tir ; elle est également nulle dans le vide où u ^ u^, ; elle ne devient
:o i/atmosphère
<3gale à w sin !J qu'au bout d'un temps infini où le projectile participe complètement au mouvement de Tatmosphère.
Cette formule montre également que Teffet du vent sera d'autant plus sensible sur un projectile :
1° Que sa vitesse u^ sera plus considérable, c'est-à-dire qu'il sera tiré avec une plus grande vitesse initiale ou à égalité de vitesse, sous un angle plus petit :
2^ Que son coefficient balistique sera plus grand, car
le rapport — diminue d'autant plus vite que c est plus
grand. Donc les projectiles légers seront plus influencés par le vent que les projectiles lourds.
.1 égalité de poids ^ de deux projectiles de section différente, le plus allongé, dont le coefficient balistique
C = i\ — est moindre, sera moins influencé par le vent. . '
49. Résumé. — Les principes du mouvement relatif appliqués à l'ensemble, canon, projectile, atmosphère, permettent de ramener, dans le cas le plus général, ("W quelconque), le calcul d'une trajectoire en air agité au cas d'une autre trajectoire (V^, a') en air calme. La solution est donc complète, puisqu'on suppose que le problème balistique principal est résolu.
Dans le cas où la vitesse du vent "W est très petite relativement à la vitesse horizontale du projectile, les équations, plus simples, permettent de calculer le terme correctif du au vent, en partant de la trajectoire (V^, a) supposée connue. Le calcul du terme correctif nécessite
la connaissance des dérives partielles -rr — ,-:;— ;^rT"?
