DES FORMULES GÉNÉRALES
55. Méthodes suivies. — L'application des principes du mouvement relatif à l'étude de l'influence du vent sur les trajectoires a été donnée pour la première fois par le général Didion ; Hélie et lïugoniot en ont fait l'application au cas où la vitesse du vent est très petite.
Malgré la simplicité et la clarté de la démonstration, plusieurs auteurs en ont contesté le principe. Mais, sans faire appel aux propriétés du mouvement relatif, il est très aisé, ainsi que l'a montré Siacci, d'arriver par une voie directe aux formules démontrées au § i .
Démonstration de Siacci — La résistance
qu'éprouve un projectile dans un milieu en mouvement est égale à celle qui résulte de deux vitesses, celle du projectile v et celle du vent "W.
1° J^ étant l'angle formé par la direction du vent et par le plan de projection dont
VE>T ATMOSPHERIQUE 77
la trace est Ox^ nous prendrons l'axe des z perpendiculaire à Ox et du côte de.Ç. Le vent venant de T.il, par hypothèse, ses composantes seront, par définition,
+ "W cos !J, sur Ox ; o sur, Oj ; + "W sin t^, sur Oz.
La vitesse du projectile v, en un point, a pour compo-
dx dy dz . , santé -7- , — :- , -7- suivant les trois axes. (// ' dt ' dt
Donc, relativement au milieu^ la vitesse résultante v
du projectile aura pour expression :
et V fera, avec les trois axes, des angles dont les cosinus seront :
\ l dx ^ i dy i I dz
— (-7 wcosL ; j~\ — -7:
y \dt 7 \ dt' \ \dt
wsiuw
2'^ Projetant alors sur les trois axes de coordonnées, les équations du mouvement seront :
d^x ^, . i ( dx ^
___eF(v)-^-^-wcos,j,
d'z „, , I f dx
Changeons de variable, en posant :
X = a? — "W/ cos ^, 1.^=^ z — "W^ sin J^
78 LATMOSPHÈUE
On aura, en subslitiiant :
vrf^ = V^rfx' + dy' + (h' = (h,
s élant Tare de la trajectoire f»auche.
Puis :
fl'\ ^, . dx d-y ^, s dy
r//' . ^ W/s ' dt' ^ ' ^ rfs
dV' ' ' ds
y En divisant membre à membre la première et la
dernière équation, cF\ -7— s'élimine et on aura : ^ ^ ' ds
dt' dt' ,, , dx
d ou — î- = constante
dx dz dz
dt dt
C'est l'équation difTérentielle du mouvement horizontal du projectile.
Pour déterminer la constante, on écrira :
dx dx
h dt
"W cos t
dz dz . y.
— w sm w
dt dt
et comme, pour / := o, on a :
il viendra :
dx V„ cos a — w cos ^ ^ ^
dz W sin Ç
VE?iT ATMOSPHERIQUE 79
|5 étant un angle auxiliaire.
On en déduit :
z = X tg p,
avec une constante nulle, puisque z = o pour x = o.
4*^ Faisons un nouveau changement de variables, en posant :
X = 7- d ou z == X sin p.
cos p
Les équations du mouvement deviennent alors :
ydt = v/cos-^ p dx" + dy' + sin- 1^ dx'' = \/dx'' + dy' = cfe'
rf^^ ~ "^^ ^ ^ rf^' ' di' ~ ^ ""^ ^^^ ds'
Ces relations entre v, x ^ y, et s' sont exactement les mêmes que celles du mouvement d'un point dans un milieu en repos : elles s'intégreront de la même façon et définissent une certaine trajectoire.
5° Cette trajectoire a, à l'origine, la vitesse initiale Vi et l'angle de projection 7! et ces deux quantités Vq et a' seront déterminées ainsi qu'il suit.
On a :
Remplaçant r--^ par :
^ cos p
(^V^, cos a — w cos ^)^ -^ par V, cos a, -^ par V, sin a,
8o l'atmosphère
il viendra
Vq^ = VJ + w^ — '^^\^ c^s a cos s et comme :
On aura :
V„ sin a
tg«'=
y^ VJ cos"^ a + w^ — ^VqW cos a cos Ç
6** Soient donc X' et T' la portée et la durée du trajet correspondant, dans un milieu en repos, à la trajectoire (V;,aO.
Puisque, d'une façon générale :
, X X — "W^ cos î^
X == fj- Q
COS p cos p
On aura :
X = X' cos p + wT' cos ^
Z = X' sin ^ + wT' sin ^i
Mais on a, par un calcul facile :
. o — w sin Ç u. — w cos >^
sm p = 7 et cos p = — ^
Il vient alors :
X = -î^ X' + w cos î: (t — ~]
Z^wsinr (T' — ^
y" En remarquant que X est la portée dans l'air agité, soit Xy, et que Z est l'écart du projectile E^ en dehors
VE^T ATMOSPHÉRIQUE 8l
du plan de projection, on voit que les formules ci-dessus sont exactement les mêmes que celles du n" 44 pour un vent (+ "w) venant de T.R. c. f. q. d.
§ 4* — Tir sur plate-forme mobile
07. Le problème du tir en mer. — Dans le tir à bord des navires de guerre, la plate-forme qui porte les canons est mobile, soit horizontalement, par suite de la vitesse donnée au bateau, soit verticalement par suite du roulis. 11 en résulte des perturbations de la trajectoire, qui, à certains égards, peuvent être calculées par des formules analogues à celles de la théorie des eflets du vent ; il est donc très justifié de les rapprocher les unes des autres.
