Équation différentielle de la trajectoire
— i*^ Soit, à la surface de la terre, le point d'où est
lancé le projectile, sous l'angle a et avec la vitesse initiale Vq ; C est le centre de la terre et R le rayon terrestre en O.
Soit M un point de la trajectoire dont le rayon vecteur CM sera désigné par r.
La force qui agit en M est centrale, dirigée vers le centre C de la terre et
a pour expression — g -^ , g étant la gravité au
point de la surface.
Si cp est l'angle polaire du point M, on aura par le
théorème des aires (vitesse aérolaire constante) :
rWï> = kdt.
a" Soit I l'angle formé par le rayon vecteur et la tangente en M à la trajectoire. On a, en considérant le triangle infiniment petit MM^C :
cos I ==
dr
îs
et
sin 1 = — ^,-ds
Mais, si v est la vitesse en M, on a :
ds
dt '
LA TRAJECTOIRE PLA^tÉTAIRE DU PROJECTILE 93
Par suite :
j dr ^ ... rd'S)
V ces 1 = -77- et i; sin 1 =
dt dt
Il vient donc :
i- = rv sm 1
dt d'où :
k = vr sin I,
ce qui permet de déterminer la constante par les conditions initiales, d'où l'équation :
A: = V^Rcosa.
3^ D'autre part, l!équation du travail élémentaire :
dv^ = - acjR^ ±
donne, en intégrant :
r et la constante b est telle que :
6 = 2(/R — Vo^
L'intégrale des forces vives, pour le cas des forces centrales, donne entre les quatre variables r, îp, v et t l'équation différentielle :
drV i rdo \ ^
dtj\ dt
4*^ En éliminant dt entre celte équation et la relation r"rfï> = kdt (théorème des aires), et d'autre part
LA TEHRE
en remplaçant v- par sa valeur, d'après l'expression du travail, il viendra l'équation suivante :
2glV
qui représente l'équation différentielle de la trajectoire
entre les variables — et o.
