LA TRAJECTOIRE PLANETAIRE DU PROJECTILE
les valeurs de V^ ne peuvent être réelles que si CCS a, = I, c'est-à-dire si le tir est horizontal. On a alors :
ou, numériquement :
v/2 V, = I io5o'" ^^— = 79o3"'.
68. Tir horizontal. — Examinons maintenant Tensemble des Irajocloires tirées d'un môme point de la surftice de la terre, sous le même angle de projection, mais avec des vitesses initiales croissantes. Et d'abord, considérons le cas du tir horizontal.
Soit un point A, situé très près de la surface de la terre dont le centre est en C ; AX est l'horizontale du point de départ et c'est la direction du tir.
1° Pour Yq =0 (chute libre), la trajectoire elhptique se réduit au segment AC (aller et retour).
Le centre de la terre C est le foyer commun de toutes les trajectoires. Dans le cas de V^ = o, l'autre foyer est en A.
2" La vitesse initiale V^, croissant, Vellipse s'élargit et le foyer mobile part de A et marche vers C.
3'^ Pour Vj^ = /(/R == 7900"^, les deux foyers sont réunis en C et l'ellipse est vme circonférence de cercle concentrique à la terre.
4'^ La vitesse initiale \ ^ croissant encore, le projectile décrit une ellipse., mais qui, du côté opposé au point de départ A, s'éloigne de plus en plus de la surface de la
BALISTIQUE. il. * • *» »"
terre. Le foyer mobile dépasse le point C et s'éloigne de plus en plus du point A,
3" Pour Vj = y/ai/K =^ 1 1 o5o'", le projectile ne revient plus en A ; l'ellipse devient une parabole ; le foyer mobile est rejeté à l'infini.
6''Aussilôl que celle vitesse de ii oSo™ est dépassée, les trajecloircs sont des hyperboles dont les brandies s'ap-
prochent de plus en plus de la direction horizontale du tir, direction atteinte pour V^ =^ as .
Le foyer mobile vient de l'infini, mais de l'autre côté du segment AC et se rapproche de A,
G9. Tir incliné. — 1" Quand on lire sous un angle de projection te différent de zéro, avec des vitesses initiales croissantes, les trajectoires sont d'abord des ellipses.
Les points de chute sur la surface de la terre vont en s'éloignant constamment de A.
Un des foyers de l'ellipse reste toujours au centre de la t«rce, en C. L'autre se meut sur une ligne droite AF
LA TBAJECTOIRE PLANETAIRE DU PROJECTILE
I %':"yv.>--
Horizon de A
qui fait avec la direction du tir un angle ^ égal à l'angle que fait avec cette même direction prolongée, le rayon terrestre AC (propriété élémentaire de la tangente à l'ellipse).
2'* Pour V^, = 1 1 o5o™, V ellipse se change en une parabole : le projectile ne rencontre plus la terre ; le foyer s'est, éloigné à rinlîni dans la direction AF.
Cette parabole sépare la région des trajectoires elliptiques de celle des trajectoires hyperboliques et. est leur limite commune.
Pour construire le sommet de la parabole, on mènera, par G, la parallèle CMM' à AF qui coupe le cercle en M^ où elle rencontre la direction du tir AT. Du milieu B du segment AM', on abaissera BD perpendiculaire sur MC. Le point D est le sommet de la parabole.
3^ Soit A' le symétrique de A par rapport à MC ; la parabole passe par le point A' qui est le dernier point de la surface terrestre qui peut être atteint par le projectile. Quand Y^, croît à partir de o jusqu'à l'infini, toute la portion AMA^ du grand cercle est donc balayée par les points de chute du projectile, la portion A^M'A restant à Tabri de toute atteinte.
lOO
Propriétés générales du mouvement planétaire des projectiles
Sfr-àpb-e
70. Théorème. — Vhodographe d'un mouvement planétaire est une circonférence.
Soient C le centre de la terre, M un point de la trajectoire d'un projectile-planète, qui décrit une ellipse de foyer C ; MT est la tangente en M. Soit I un point
de Vhodographe (la direction CI est parallèle à la tangente MT et la longueur CI est proportionnelle à la vitesse i' en M) .
Le moment de la quantité de mouvement du projectile autour de G est mv X CQ, CQ étant la distance du centre C à la tangente MT.
Puisqu'il n'existe pas de couple accélérateur dans le cas actuel où la seule force extérieure, l'attraction, passe par le foyer C, ce moment mv X! CQ se conserve constant pendant tout le mouvement. On aura donc, en posant CQ = y, et K étant une constante :
fjv == K" .
Soit, dans la direction de CQ, pris CJ = i> (ou un nombre proportionnel à u). D'après la relation rjv ==R", on a CQ X CJ = K^ Mais, on sait que le lieu do Q, projection du foyer C sur la tangente de l'ellipse, est une circonférence qui a le grand axe pour diamètre.
ig. 27
LA TRAJECTOIRE PLANETAIRE 1>V PROJECTILE lOI
Le lieu de J est donc la transformée par rayons vecteurs réciproques de la circonférence, lieu de Q.
C'est, par suite, une circonférence homothétiqpie du lieu de Q par rapporta ce point.
Pour passer, du lieu de J, à Fhodographe décrit par
le point I, il suffit de faire tourner de — dans le sens
du mouvement la circonférence lieu du point J.
Donc V hodo graphe du mouvement planétaire est une circonférence.
Ce théorème se généralise dans lo cas d'une force quelconque passant par un point fixe : la trajectoire se déduit de riiodograplie en prenant la polaire réciproque de l'iiodographc par rapport à un cercle de rayon convenable décrit autour du centre fixe, puis en faisant tourner la courbe
ainsi obtenue de — autour de ce centre, en sens inverse du mouvement.
* 71 Théorèmes sur la famille des trajectoires planétaires Vo = const- — Nous avons étudié aux n'^* 67 et 68 les trajectoires planétaires du projectile de la famille a = const. Les théorèmes qui suivent se rapportent aux propriétés des trajectoires elliptiques de la famille \ ^ = const : elles sont la généralisation des théorèmes établis dans le cas du mouvement parabolique ^ .
Le principe de la généralisation consiste à remplacer la directrice du mouvement parabolique par le cercle directeur du mouvement elliptique.
' (]ii,, 6, chap. I, § 3.
LA TEURE
Théorème I. — Toutes les trajectoires planétaires décrites du même point de la surface terrestre par des projectiles animés d'une même vitesse initiale \\, mais
tirés sous des angles de projection y. différents, ont même grand axe.
L'équalion de la conique rapportée au foyer C (centre de la terre) et à l'origine du tir est :
Fig. 78.
I + e cos ('? — cpj
où 'S>Q représente la direclion du grand axe de la conique. La longueur na de celui-ci est telle que
r^ correspond à cp r:=^ cp^ et r^ à 'p> = tt + o^. On aura ainsi :
et
d'où :
Remplaçant p par il viendra :
gW
ia
et é^ par i
ujW'
bk
2nv
et comme
on aura :
