XI (J
2° Cas du tir de plein fouet.
La gravité fj entre dans la définition des deux intégrales "^ .
, . r"^ du , , C^ udu
Soient dg Taccroissement de g et ôa,, raccroisscment corrélatif de la vitesse restante horizontale. Le principe des calculs est le môme que pour le calcul des variations ôVo, etc.\
' Cn., 6, p. 44(»-
* Cn., 6, p. 3i I.
^ Ch., 6, p. 319.
* Ch., 6, p. 345.
LES TERMES CORRECTIFS DUS A LA TERRE III
L'équation du point de chute
c (D. — D J tg a = A. — Ao — Jo (D. — DJ
donnera, quand on la différentiera :
c [b (k -+- du,,,) — D„) tg a =
A H- -^) [A («. + ôaj — Ao — Jo (D (a... + Oa,.) — D,)]
d'où on déduit, après un développement par la série •de Tavlor :
Xtga cF„ (V/
dw,= —
Ig w M,, </
On portera cette valeur de 0«,, dans les autres équations difTérentiées par rapport à a„, et à 7 et on obtiendra le système de formules suivantes :
tg to il,, (J
(^\ tg a t)r)f ^ ~~ *g^ il '
(>co = r tg (o — tg a) —^ -r -^-^ 0//.
^ (J u:, Igw ^
Exercices. — 1° Trouver les formules de correction pour le sommet de la trajectoire de plein fouet.
!A^ Calculer numériquement pour la trajectoire du vide \o = 5oo mètres, a = \^)^.
à) La variation de portée, quand on j)assc du polo à Tcquatcur. On trouve :
Portée à Téquateur : g = 9"\78i. \ = jj jjia nièlres. Portée au pôle : (j = ()"\8'^i, X = '2i \M) — r-
Ditïerence : ^X = l'iG mètres.
b) La \ariation de portée quand on passe d\ni tir au ni\eau de la mer à un tir à l'altitude de aooo nièlres.
On trou\e ôX = i() mètres.
76. Second problème. Variation progressive de la gravité. — On ci calculé une trajectoire avec la valeur (j qui convient « la latitude et à l altitude de lori-
(jine ; trouver la trajectoire qui correspond à la valeur
(2 y \ I — j , la gravité variant ainsi avec l* altitude le
long de la trajectoire.
On traitera les trois problèmes suivants : vide ftir courbe à faible vitesse), tir de plein fouet cl mouvement vertical.
i" Cas du vide,
a) L^équalion différentielle
peut s'intégrer, même dans l'iiypotlièse d'une grandeur
quelconque du terme 2 -~r .
Posons, en effet :
LES TERMES CORRECTIFS DIS A LA TERRE
II 3
et par suite
rit'
nr:
avec
L'intégrale générale de l'équation ci-dessus esl
avec deux constantes a et 6 qui se détermineront par les conditions que, pour / =^ o, on ait :
dz z = i et — ,- -
dl
On a ainsi :
i=é* -\- c^' et — — V^ sin a = m [&^ — c'*)
Il en résulte que
'26= i -V sin a,
Par suite :
V^sin a.
\ „ sui a
h] Mais
+ mt
e d'où :
'■'il
ml
i=tz 1-
iiiit
1 \,,suia
Ult
nrl
nri
— \, 7 Sin a H 1 — TT- VJ^sinaH ;- -\ —
2 or/ " 24
</ ^ 2 6fj
cl pour l'équation de la trajectoire :
y = \;/ sin a — -i. ^^'+ ^ i" ( V.sina— -^ +..)
ii4
OU encore, puisque la première équation différentielle
du mouvement -j-r = o n'est pas changée et donne
Vy cos a
, il viendra :
j=xtga
(jx-
(JX
2Vôcos-a oliVJcosav " 4VyC0sa /
c) Pour le point de chute, on posera y = o et X = X + OX. On trouve ainsi :
ùx=4
3 RVyCosa
