V.sma— — r
4 >oCOS a
\cy ri
Exercices. — 1° Calculer ôT ; calculer 3X^, ôYg, ôT^ au sommet de la trajectoire.
'2^ Démontrer que le maximum de ôX a lieu pour un angle
de projection égal à 60°, le maximumdc ôïpour a^= -;- .
3° GalculernumériqucmentôXpourYo = 5oom., a = 4>^^r 1\ = G371 km. (On trouve ôX == 3/j m.)
2" Ca5 (/u //r de plein fouet.
a] Les équations différentielles du mouvement s'écrivent avec :
comme il suit :
du d-z
dt
cvY
11 / COS'"T '
dx = —
^y—rMt
Il / COS' T
COS-T
LES TERMES CORRECTIFS DUS A LA TERRE Il5
Dans le cas du lir de plein fouet ^ la première devient d-z
cos
^T C UVV R/
En portant cette valeur dans les autres, il viendra le système suivant :
d-z g du f y\ , i udu
, i du ,1 udu
dl =--.—-; rfy = tgT
b) luhodocjraphe a exactement la même forme que dans l'hypothèse d'une densité de l'air variable avec
l'altitude, où h serait remplacé par [ — -=^) .
On aura donc ainsi, comme au n"" 29, l't^quation :
c) Le temps cl V abscisse n'introduisent pas de nouvelles fonctions balistiques et s'intègrent immédiatement sous la forme :
d) ^ordonnée y, dans le cas actuel, ne différera de l'expression de l'ordonnée donnée au n^ 32 que par la suppression du terme hydy dans le second membre. L'intégration se fera donc exactement par la formule
TÎ^.
Il6 LA TERRE
du n^ 32 en supprimant le terme — hy- et on aura ainsi :
Rc'
>LÎ(a'a>)+i,(
+-r3iyJ'-T(«^'-ai)+3(*"-0+7.7Ji-J")(i>-»o^
e) Le problème est donc susceptible d'une solution complète que les procédés ordinaires (34) permettraient, par l'emploi de fonctions secondaires y de ramènera un degré très grand de simplicité.
Mais, on doit ajouter que la correction à clîectuer est d'un ordre de petitesse tel qu'avec les trajectoires de plein fouet usuelles, il n'\ aura jamais lieu de la prendre en considération .
Ainsi la coircclion à eirectuer sera toujours très inférieure
à celle qui résulterait d'uiie \aleur — ^ = ît^ .
On peut d'ailleurs la calculer approximativement par la
formule du n° ^j en i)renant — ^ = — ^ •
il 1^
Ainsi on aurait, par exemple, pour la correction de la
portée : ^,- . ,-
' dV tga Is
"X" "^"^ tg^ TT"
3^ Cas (lu tir vertical.
L'équation du mouvement descendant, en tenant compte à la fois de la diminution de la densité de l'air avec l'altitude et de la diminution de (j avec l'altitude s'écrirait (i3^ :
ihIv
l-^^—c{i+ahyr¥
LES TEUMES CORRECTIFS DUS A LA XERIIE
y élant pris avec le signe + et complr dans le sens du mouvement.
On discutera cette équation comme au n" i3, en considérant, au lieu de la courbe K, la courbe définie par l'équation :
Celte courbe a la forme de la courbe II de la figure 33. La variation de v en fonction de y est alors donnée par la courbe
Fig. 3J.
Il semble inutile d'ajouter cpic tontes les particularités rencontrées au-dessous du sol résullenl purement du jeu des formules dans une région où les hypotlièses physiques adoptées n'ont plus aucune signification.
§2. ^ ARLiïI0>S Ey DIRECTION DE LA GRAVITÉ
77. Lois de la variation de la gravité en direction. — Comme on prend toujours, par hypothèse, pour le calcul de la trajectoire principale, l'axe des y dirigé à l'origine suivant la verticale du lieu où se fait le tir, il n'y a point lieu de considérer ici un j)roblème du genre de celui appelé premier problème au n" 7;"), qui tiendrait compte des variations en direction de (j en passant d'un lieu à l'autre.
Par conséquent, les seules corrections à calculer seront celles dues à la variation de la direction de g sur
ii8
LA TEllllE
Tare de trajectoire que Ton considère. Ces variations se rapportent à deux causes.
i^ A la convergence des verticales vers le centre de la terre.
2'^ A la non sphéricité cia globe.
Il est clair que la seconde cause est du second ordre de pelitesse par rapport à la première et que, dans la très faible étendue des trajectoires de l'artillerie, le sphéroïde terrestre peut être remplacé par sa sphère osculatrice dont le rayon peut être pris égal an rayon terrestre moyen.
11 ne reste donc à traiter que la correction due à la convergence des verticales.
78. Convergence des verticales. — Soient O l'origine de la trajectoire, C le centre de la terre, M
un point de la trajectoire. La gra- My(z vite dont nous supposons la grancE^a/l deur constante (correction du para-
graphe précédent) agit suivant la direction MC, Soit i l'angle en C.
Projetons les forces successivement sur Ox et Oy : il viendra, en remarquant que i est tel qu'on peut poser :
Fier
cos il
d'x 7fF
= — c¥ cos T — D^Eri
et sin y = d'Y
Te
tg^.
cFsinT — g.
Mais R étant le rayon de la terre, on a :
OA=OCtgA = Rtg|.
LES TERMES CORRECTIFS DUS A LA TERRE II9
La longueur OA ne diffère de Tabscisse 0/n que d'une quantité très petite y tg ^. On a donc :
et on peut évidemment négliger le second terme du deuxième membre qui est du deuxième ordre de petitesse relativement au premier. On écrira donc :
—r-^= Ch COST ^X; -7~- = Ch SUIT — (J,
Nous allons chercher les formules dans le cas du vide (tir courbe à faible vitesse) et dans le cas du ti?^ de plein fouet.
i"^ Cas du vide.
L'équation différentielJe
peut s'intégrer directement. Son intégrale est, en effet :
V — cosasin (\/ ^')
Développant en série le sinus, toujours voisin de zéro à cause de la présence du facteur j^ , il viendra :
'■'<s/^']-Vi'~i{if''
d'où :
On portera la valeur de /
Vjj cos a \6 R \ cos^ a dans Féquation qui donne y et qui n'est pas changée
y = y Jt sin a (jl-.
Il viendra, pour l'équation de la. trajectoire :
qx'^ q a?^ sin a
y = x' tg a — ^^, ^ + 74,
2 Vo cos'- a 61\ Vq cos'^ a
Pour le point de chute, on posera y = o et X =:rz X -f- OX. On trouve ainsi :
Ainsi donc, dans le vide, la correction en portée^ due à la convergence des verticales est égale et de signe contraire à la correction due à la variation de la gravité avec f altitude.
Exercices. — Démontrer que les deux trajectoires (g variant avec l'altitude et g convergeant vers le centre de la terre) ne se coupent qu'au point de chute. Quelle est
celle qui est au dessus de l'autre ? (selon que sin a > ou
< — 1 . Former l'équation unique qui tient compte des deux
variations.
LES TERMES CORRECTIFS DUS A LA TERRE I i l
2° Cas du tir de plein fouet .
La combinaison des deux équations actuelles du mou- >ement *
(l rcosT' ,, qx divûwz ,^ .
j- = — CrCOST —r-'-, T. = Cr SUIT — 7
dt li dt •'
conduit au système de formules
du cvV X V f cV . "*
dx=^ — - ( I + TT ig '^ ) ^•;
</t ij R COST V <j
di= — -
(J cos
r/y = — ^ to-T ^I +1 tg TJf/T
Dans le cas du tir de plein fouet, le rapport -^ étant
diîjà très |)etit sera négligé devant l'unité lorsqu'il sera multiplié par siuT ou tgT.
Les formules s'écriront alors :
cos-T c\ cVK/uV c\ cF R/ 1'
. ' I / (I x\ du , lin x\ udu
>i on remplace maintenant x par dans ces
formules, on voit que l'intégration en sera facile par l'introduction d'un certain nondire de fondions Ixdistiques nouvelles.
' ClI., 6, p. ['22.
lii LA TERRE
\insi, riiodographe exigerait rintroduction des inlé-
On pourra, comme exercice, établir les formules Nimplètes qui résoudraient le problème.
Mais, la petitesse du terme correctif rend superflu, pour la pratique, le calcul ci dessus et permet de se contenter d'une approximation simple pour l'évaluation de la correction . Cette approximation sera obtenue facilement eu remarquant que les formules dilTérenticlles pour le tir de |)l(Mn fouet avec convergence des verticales sont simplement celles d'une trajectoire de coefficient balistique
Ou pourra donc calculer, approximativement, le terme correctif en employant les formules différentielles qui don-
, etc. ^
ôc ' àc avec
c 1 cF„, R Ainsi on aura, pour la correction de la portée
ÔX . r/ X / If? a
X 2 cV,., R \ ti; w
!^ 3. — Courbure de la terre
79- Hypothèses. — On a supposé, dans l'établissement de la tbéorie du terme principal du problème
* Cii., 6, p. 34;.
LES TERMES CORRECTIFS DUS A LA TERRE
balistique, que la surface de la terre était plane. Cette hypothèse, sans aucune conséquence évidemment sur les équations de la trajectoire indéfinie, était nécessaire pour obtenir des formules, aussi simples que possible, du point de chute, qui est le plus important, en pratique, des points de la trajectoire. Si, en effet, au lieu de faire y = o, dans. les équations, pour obtenir ce point, il eut fallu chercher l'intersection de la trajectoire et de la circonférence terrestre, le problème fut devenu très compliqué et même, le plus -souvent, impossible à résoudre.
D'ailleurs, la petitesse de la correction à effectuer, petitesse due à la grandeur du rayon de la terre relativement à la portée des trajectoires de l'artillerie, permettra de calculer, par une formule très simple, le terme correctif qui s'introduit du fait de la courbure de la terre.
80. Calcul de la correction en portée. — Soit OSP' la trajectoire, OMP' la circonférence du globe terrestre de rayon 11 et de centre C.
La portée X que donnent les formules de la Balistique ordinaire est OP ; la portée réelle que l'on mesure à la surface de la terre est l'arc OMP'.
Joignons P' au centre C de la terre et soit Q le point où ce rayon rencontre l'horizontale de l'origine. Soit 'J; l'angle au centre OCQ ; ^ sera, par hypothèse, un angle très petit.
Fi or ■»■>
Oii a :
arc OMF = IVi.
et :
OP = OQ — PQ == R ig ^ — PQ.
On aura donc, en désignant par AX la différence (arc OMF — OP).
A\=R(A — tgÀ}+PQ.
et, à un ternie du 5"" ordre en ♦} près :
