CM

ROTATION DE LA TERRE l45

Mais cette dernière composante, qui peut s'écrire g r—-

doune lieu à l'effet qui a été calculé précédemment (78) comme résultant de la convergence des verticales sur la trajectoire sans mouvement de rotation de la terre. Son action est donc comprise implicitement dans les valeurs données de 5C et y en fonction de / qui définissent, par hypothèse, la position du point M dans le système d'axes(xOy).

Par conséquent, au degré d'approximation recherché ici, la rotation de la terre n'aura pour effet que de donner, vers la gauche^ une composante ayant pour expression ( — g2it) .

On aura donc, pour l'équation différentielle du mouvement hors du plan de projection :

d'où on tire, en intégrant deux fois :

sans constante, parce que, pour i = o, on doit avoir

dz.

— -^= o et z, = o.

dt *

Donc, relativement aux axes entraînés parallèlement (Oj^, Xj^ y, Zj), on aura :

aaf

Remarques. — a) Dans Texpression de la force accélératrice

qui fait sortir le projectileduplan de projection -rrj- = — gsit,

nous n'avons pas tenu compte de la résistance de l'air. Nous supposons donc ici cette résistance très faible et négligeable, de sorte que les formules actuelles s'appliquent rigoureusement au cas du vide ou du tir courbe à faible vitesse. On dira plus loin (| G) la manière d'établir la formule dans

le cas du tir dans un milieu résistant.

6) Le projectile pendant son mouvement dans le plan de projection (méridien) rencontre un vent latéral de vitesse croissante sou filant vers la gauclie, puis-

(lu'à l'origine, sur Téquateur, la vitesse

^ des couches d'air est Ra et sur le paral-

Fig. 42. lèle )., à la distance x, cette vitesse n'est

plus que de ra.

Le vent relatif est donc a(R — '') = 8,R (i — cos 1) ou,

puisque A est très petit, à cause de la faible amplitude

des trajectoires, aR -;— . Mais, on a aussi sensiblement r = R sinl; donc le vent aura, au point x. pour vitesse

'. îT 4^* ^^^^ ^^^ quantité extrêmement petite (de l'ordre du millimètre pour x = •20''™),

2'^ Effets de la rotation des axes. — Au temps /^ Forigine des axes entraînés par la terre sera venue au point 0' sur la surface terrestre, tel que : arc 00' = Ra/. Pour passer des axes (0, x^y^ zj du transport parallèle aux axes réels (0', y x^ z')^ on transportera d'abord les ])reniicrs parallèlement en 0', suivant (O', x.^y.^ cj, puis^ on les fera tourner autour de O'x.^ qui restera fixe en devenant Ox'.

a) Transport parallèle. — Les coordonnées de O' relativement à O^ sont :

o pour les x.^

O'K = — R (i — cos af), pour les y^ R sin a/ — Ra/, pour les ,"2

ROTATION DE LA TERRE

Cette dernière valeur est nulle à un terme en R (a/) près, négligeable par hypothèse.

L^abaissement O'K des y.^ se réduit à :

et par suite :

On a donc :

Fig. 4-J.

•> LÎ

b) Rotation des axes. — L'angle formé par le nouvel axe des y' avec Tancien y^ est a/. On aura ainsi :

«A/ ■ tX/.^

y =2:^cosa/ — y.^^ui2Ll=z^co^B.t — ( Jt + R— 7— ) «ma/ y'===y,j^^ineit-{-y.^co^2Lt==z^^\n^t-^\y^-\-^---\co^B,t

Si l'on néglige les quantités du second ordre en a lorsque cqtte vitesse de rotation est multipliée par une coordonnée et du 'i"^ ordre lorsqu'elle est multipliée par le rayon terrestre suivant ce qui a été convenu au n^ 87, on trouvera :

> il

/ = Ji H- a/;. + R

l48 LA TERRE

c) Formules complètes, — En substituant les valeurs de x^^ jj, Zi et remarquant que B.tz^ devra être négligé, dans l'expression de y\ à cause de la valeur de :

on obtiendra le système suivant :

Pour le tir du même point, mais dirigé vers le pôle Sud, y' conserve la même forme ; la déviation z' a toujours lieu vers la position initiale du tireur, et conserve la même valeur que dans le tir vers le Nord.

93. Tir et réquateur dans son plan. — Lorsque le projectile est lancé dans le plan de l'équateur, vers l'Est, c'est-à-dire dans le sens du mouvement diurne, il reçoit, outre sa vitesse de projection, une vitesse horizontale, égale à celle d'un point de Téquateur et dirigée dans son plan. Il est d'abord évident que le mouvement terrestre ne produira pas de déviation hors du plan de l'équateur.

Le même raisonnement qu'au numéro précédent pourra s'appliquer ici : M étant la position du projectile au temps t relativement aux axes immobiles (0,irj), le transport parallèle des axes et de la trajectoire pendant le temps t à une distance 00^ = Ra/, donnera le point M,. *. .•

ROTATION DE LA TERRE

Pendant ce temps, la direction de la gravite, qui passe constamment en C, a changé continûment et, d'autre part, les axes de repère, transportés avec l'observateur et sur les-

quels il mesurera les dimensions de la trajectoire qu'il observe, seront venus en (0 Vj') , Torigine 0' étant telle que

arc 00' = Ra^

Vi y'/

Ouest m

E Est

Fig. 44.

On aura ainsi à considérer Teffet dû à Vattraction oblique et Teffet dû à la rotation des axes.

i^ Effets de F attraction oblique. — La gravité g s'exerçant suivant M^C aura pour composantes

g cos a^ suivant MJ — g sin a/ suivant M^M',

c'est-à-dire au degré d'approximation admis, g et — gsit. On aura donc, pour l'effet de cette force dans le plan

de tir :

d'où, en intégrant deux fois : D'ailleurs

ïi = y et z,

Il y a lieu de faire ici la même remarque qu'au n^ 92, 2°, a. On néglige la résistance de Fair et lasolulion s'applique, par suite, directement au tir courbe k faible vitesse seulement. On dira plus loin comment s'établiront les équations différentielles dans l'air atmosphérique et comment on peut les intégrer dans le cas du fir du plein fouet,

2" lyffeia de In rotation des axes. — l^our passer des axes 0,j*,rjr,) aux axes [0\x.,y.,z,^j^ il suffira de changer z^ en .r^ et z.y en x.^ dans les formides du numéro précédent : 1(* transport parallèle des axes en 0\ qui n'influe que sur la valeur de y, donnera :

La rotation donnera les formules :

3" Formules complètes. — Par suite, les formules

totales seront les suivantes :

Elles fixeront la position du projectile au temps /, par rapport à l'observateur .

Remarque. — Il n'y a pas lieu évidemment de considérer l'effet du vent, puisque le projectile reste sans cesse sur le même parallèle.

ROTATION DE LA TERRE

Nord

94* Tir à Téquateur dans une direction quelconque. — Généralisons maintenant les résultats obtenus dans les deux problèmes précédents.

Soit le point de départ du projectile sur Féquateur : le prolongement Oj du rayon terrestre OC est la direction de la verticale en O.

Le plan horizontal en est le plan T^OTp .

Dans ce plan, la direction horizontale du tir QuestL Xl^JiS, \Est

est la ligne Oa?, définie par son azimut a, angle que Ox fait avec OT

L'azimut variera de O à 27: en tournant de gauche à droite.

L'axe des z sera une perpendiculaire Oz à Ox^ située dans le plan horizontal de O .

I® Menons par le centre C de la terre, deux droites Cy et CX^ respectivement parallèles à Ox et Oc. Le plan yCs perpendiculaire à OC contient aussi Taxe de rotation CA de la terre. Si le vecteur CA représente la rotation de la terre autour de Taxe des pôles, on pourra la décomposer en deux autres, R^ suivant Cy et Rv; suivant Cî^ et chercher les efTels séparés de ces deux rotations.

a étant la rotation CA, on aura :

Sud Fig. 4).

a cos IL

a sm !JL,

Or, relativement à la rotation R^, le tir exécuté en

iSa LA TERRE

aura lieu comme s'il était effectué dans le plan du méridien devenu Ox. Les formules du n° 92 seront donc immédiatement applicables, en changeant seulement a en a cos [x.

On aura ainsi, en désignant par cc",j",2:" les coordonnées après cette rotation :

a^y = j + R— -cos'u,

z" = — a,ty cos [x — g —^ cos [jl.

Relativement à la rotation R»; , le tir aura lieu comme si Ox était Téquateur et que le tir fût dirigé dans ce plan. Les formules du n° 98 seront donc applicables à * la condition de changer a en a sin [jl.

On aura ainsi :

, ,, a/^ sin u. , .

X = X — g 7^ — ■ Sity sm ^

Rt^

y' = y + Sitx sin [x -\ a^ sin"^ \k

Par suite, Teffet total relativement au vrai mouvement de la terre s'obtiendra en remplaçant x" ^y'\z" par leurs valeurs ; x' ^y\zl désigneront toujours les coordonnées du projectile au temps t par rapport à la position de l'observateur sur la terre, observateur qui se croit immobile ; on aura ainsi :

X = X — -^^— I — sm [JL — a/y sm [jl .

ROTATION DE LA TERRE l53

y z= y -\- Sitx sin [JL +

Z = a/y COS [JL -^ — COS [JL.

'1^ Il y a lieu de remarquer que la rotation Rj, = a cos jjl amène au bout du. temps t Torigine au point 0^ tel que

OOz = Sit COS \L

sur le grand cercle tangent en à l'axe Oz et que la rotation

Rç = a sin u.

amène, au bout du temps t, l'origine au point Ox tel que

OOx = Sit sin ji.

sur le grand cercle tangent en à l'axe Ox. La position résultante 00' de ces deux rotations sera donc telle que

00'^ = 00^ + OO;, d'où 00' = Ra^

L'angle vj; de cette position avec Ox sera donné par la formule

OOx = ^^' cos 6 d'où COS d/ = sin [jl.

Donc "i^ = — — [JL. Le point 0' est ainsi sur l'équateur,

à la position même qu'il doit occuper par suite du mouvement diurne.

3** Dans les formules données, on reconnaît des termes correctifs de trois espèces.

de la forme -^^ — | ; ils proviennent de Vobliquité de rattraction agissant sur la trajectoire pendant son transport latéral.

2° Termes renfermant une coordonnée (de la forme £itx) ; ils proviennent de la rotation des axes pour, après leur dépla-

TLrr

Il' f •

iWf' ■

idA

cément parallèle, être ramenés à la verticale de l'observa

teur qui suit le mouvement de la terre.

— ; j ; il provient du transport parallèle des axes, pour passer, du prolongement de la tangente, au point occupé au temps t par l'observateur.

Pour avoir une idée de la grandeur respective de ces trois termes, prenons deux trajectoires dans le vide

i^Vo^iooom. a:=4j°, d'où X=i()if)jom. T=i44%'^ joom. a =4^°, d'où X= ij ^iç^oni. Ï = r2s.

Oh aura avec

H = G!:J^i ooo m.

aTX — a<r*

Ra'T-

Trajecl. \q z-. i ooo m.

Traject. \q 5oom.

357 mètres.

I 070 mètres.

352 mètres.

ApPLICATIO>S a divers PROBLïlMES DE TIR

95. Mouvement vertical d'un corps pesant dans le vide. — Nous ferons d'abord Tapplication des formules trouvées dans le | précédent à quelques problèmes concrets. D'une part, en elTcl, les formules du tir à l'équateur sont assez simples pour qu'on puisse bien saisir l'allure générale du phénomène ; d'autre part, leur démonstration ne paraît pas pouvoir donner prise aux difficultés que le cas général peut faire naître.

Cherchons, en premier lieu, les propriétés du mou-

Tw^ -,

ROTATION DE LA TEKRE l55

vement vertical dans le vide, pour le cas particulier du lir à Téquateur.

1*^ Faisons dans les formules du n*^ 94,

X- = G, puisque, dans le cas du tir vertical sur la terre immobile, le projectile retombe à son point de départ et que son abscisse est toujours nulle.

1'^ Supposons, soit [jl = o, soit [x = — , ce qui

revient à prendre pour axe des z soit Téquateur, soit le méridien. L\ine et Fautre hypothèse conduit d'ailleurs exactement aux mêmes formules, comme il est facile de le vérifier; on verrait aussi, aisément, qu'on peut laisser la valeur de p. quelconque et arriver aux mêmes équations finales.

Il viendra (jjl = o ; Taxe des z est Téquateur et le sens positif est pris suivant la direction WE) :

96. Premier problème. — Un corps pesant est lancé verticalement de bas en haut avec une vitesse \^ ; étudier sa trajectoire relative.

y est la hauteur atteinte au temps t dans le cas de la terre immobile. On a donc :

et, par suite, la trajectoire relative y ,2;' du mobile sera définie par les deux équations :

en fonction de la variable t.

i-gt-^o

\ Zénith

On voit que le mouvement suivant Taxe des y reste uniformément accéléré, mais avec une modification de

la gravité qui devient [g — Ra") ; le projectile paraît ainsi plus léger du fait de la rotation diurne.

Prenons d'abord les dérivées des deux coordonnées par rapport au temps ; on a :

dy'

dz "dt

= a^ [gt — aV J .