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99. Deuxième application. Trajectoire parabolique dans le mouvement relatif à la surface de la terre. — Soit le tir effectué dans Tazimut [jl.
Exprimons les coordonnées a? et y de la trajectoire dans le vide (plan [jl de projection) en fonction du temps t.
On a
aî = Vy ^cosa,
y = Vjsina— -5f/-,
V^, étant la vitesse initiale et a Tangle de projection.
On aura ainsi, au temps t^ pour les équations du mouvement relatif :
a;' = y^t cos a — aVjj t' sin a sin [J^ -|- T 9^^ ^^^ V-
y = Vy f sin a i/^^ + *^^o ^' ^^^ ^ ^^^ !^ H
z' = Sit- cbs u.
^ — \ sin a
1° Projection de la trajectoire sur un plan vertical normal au plan de tir. — C'est la relation entre y' et z'.
On voit que le mouvement y' suivant la verticale est uniformément accéléré, mais en supposant une gravité
aV,
Ra
cos a sm y.
La forme de la courbe est tout à fait analogue h celle trouvée pour le tir vertical (96), mais la vitesse V(, est remplacée par une vitesse \q sin a, vitesse verticale, et d'autre part le terme Ra^ est remplacé par : Ra"^ + 2aV- cos a sin u.
ROTATION DE LA. TERRE
L'augmentation de la hauteur d'ascension AYg sera donnée par la formule
^^^ Ra^ + 2aV„cosa sin a ^
elle est maximum pour [jl = — , tir dans le plan de
Téquateur vers TEst et minimum pour [jl =3 -, tir dans le plan de Téquateur vers l'Ouest.
La déviation au point de chute, où
j 2V, sin g
~ 9 â pour valeur
\7a = — r/aT^ cos a.
Tant que cos a sera positif, c'est-àdire dans rhémisphère Nord, la déviation aura lieu vers l'Ouest (gauche du plan de projection).
Elle aura lieu vers VEst quand le tir sera dirigé dans l'hémisphère Sud Fig. 47.
(droite du plan de projection) .
Pour le tir dans le plan du méridien :
^Z = --gaT
(maximum)
Pour le tir dans le plan de Téquateur, |jl =
AZ = o.
io
La trajectoire perce le plîm vertical de projection
au bout d'un temps T = 3 — - sin a, temps qui correspond à un abaissement au-dessous du plan horizontal du tir sensiblement égal à trois fois Fordonnée du sommet de la trajectoire.
La durée du trajet au point de chute sera augmentée de
T AT = — [Ra^ -+- 2a\^ cos a sin [jl]
quantité qui sera positive ou négative suivant les cas.
Cçtte quantité ne peut s'annuler que pour les valeurs de
sin [ji négatives, c'est-à-dire pour [JL compris entre tc et 27:, soit pour un tir dirigé vers l'Ouest. On aura comme condition de l'annulation de AT la formule
Ra
JV
ATetAY,
negafîfs
Fig. 48.
sm u.
2 V. cos a '
c'est-à-dire qu'il faut que la vitesse de translation du globe à l'équateur Ra soit inférieure au double de la vitesse horizontale verticale. Si donc on a Ra< 2V(,cosa, deux angles [jl et tt — jjl répondent à la question ; dans la région située entre ces angles, AT sera négatif.
Même discussion et mêmes conclusions pour AT^ et AY,.
2** Projection horizonlale de la trajectoire, — C'est la relation entre x' et z' , On aura, avec l'approximation admise, l'équation de cette projection horizontale en
oc
remplaçant ^ par -r-: .
^ V . cos a
ROTATION DE LA TERRE
Il vient ainsi la courbe du 3*^ degré :
,2 a cos |JL Vq cos a
qx' .
oV„cosa "
a) Pour discuter cette courbe formons la dérivée
dz'
acosjL
dx' Vo cos a et la dérivée seconde
YY^ 2V„sina
V„cosa "
dz''
a cos a
dx'^ Yo cos a
6) La courbe coupe le
plan de projection en un
point dont Fabscisse ON
est les — de la portée X.
La tangente à la courbe est parallèle au plan de projection à Foriginc et au point de chute X.
Le point d'inflexion correspond à une valeur
gx
y\ cos a
Yy sin a
Pour
Fig- 49.
xJ = X =
on trouve
\l sin 2 a
.^ 4 Y^sin^a
^/j = r. 5 a cos UL. ,
OU
AZ = -T- ^'û' T^ cos [JL.
Nord
Exercices. — i° On tire dans tous les azimuts [x sur un but B placé au centre du cercle sur lequel se trouvent répartis une infinité de canons identiques. Quelle est la courbe des points
de chute ?
Q étant la déviation maximum
4 VJ sin3 a 3 g-
dans le plan du méridien, on a, pour un azimut quelconque :
Ouest
Fig. 5o.
AZ = Q cos \L.
Posant AZ = p, il viendra le cercle x- + j- = Qx.
2^ Dans le tir dans un azimut [jl, on a AZ = g sin^ a ; cons-
Sin !29C
iruire la courbe des portées X = V^ en Jonction des ^Z.
Le maximum de AZ a lieu pour le tir vertical a = — .
3° Projection verticale de la trajectoire sur le plan de tir. — C'est la relation entre y et x^ qui résultera de Félimination de t entre les deux équations :
x' =\q t cos a — aV(, t^ sin a sin [J^ + -rr i/a ^ sin ui
y = Vq ^ sin a gt^ + aV^ t^ cos a sin [jl -|
Pour opérer cette élimination, on remarquera que dans tous les termes qui renferment la vitesse de rota-
tion a du globe, on pourra remplacer t par :^
cos a
ROTATION DE LA TERRE
(Vaprès les conventions faites sur les quantités à négliger.
On tirera alors
V„ co's a
H-aa:'^ [ ]
de la première et on portera cette valeur dans la seconde :
y = Vy/sina (/^^ -j- ax'^ [ ]
Après réduction des termes semblables, il viendra, pour l'équation de la trajectoire, la courbe du quatrième degré qui suit :
y =j/ tga- ^
2V0 cos^ a
