DIRECTION QUELCONQUE
102. Réduction du problème général aux problèmes précédents. — Considérons maintenant le cas gt'iiéral, où le projectile est lancé d*un point quelconque de la surface de la terre suivant une direction quelconque.
Soit O le point de départ du projectile sur le parallèle PO. La latitude du point O est l'angle ). = POC :
'^ord
Ouest L.-.'-.-~--ri-f-~
Est
Fiff. 54 .
Le plan horizontal du point est le plan Tu^OTp déterminé par les deux tangentes OT^ au méridien, et Oïp au parallèle. COj est la verticale du point 0.
Le plan de projection est le plan xOy dont la trace sur le plan horizontal T,„OTp est la droite Ox ; le plan de projection xOy est défini par Tazimut |jl, angle de Ox avec le méridien OT^ du lieu considéré (angle TjJ^x) .
Soit encore, dans le plan horizontal, une droite Oz perpendiculaire k ox.
Tel est le système (O^xyz) auquel nous allons rapporter le mouvement du projectile.
Par le centre C de la terre, menons une perpendiculaire CB au rayon OC dans le plan du méridien. Si on re[)rosente par un vecteur CA la rotation diurne du globe terrestre autour de la ligne N.-S., cette rotation pourra se décomposer en deux rotations dirigées Tune !\ suivant CO, l'autre t\^ suivant C0.
Or, relativement à la rotation i\ autour du rayon CO, le tir exécuté en se trouve dans les mêmes conditions que le tir exécuté au pôle par rapport à la véritable rotation de la terre. Et relativement à la rotation r^ autour de C0, le tir se trouve exécuté enO dans les mêmes conditions qu'à Téqualeur dans un angle azimutal [jl.
On saura donc calculer les effets de la rotation de la terre sur le projectile lancé du point O, par les formules qui ont été établies au | 2 et qu'on ajoutera, en tenant compte du changement de la valeur des rotations qui y figurent.
Mais il faudra, en outre, tenir compte d'une circonstance particulière, conséquence du raisonnement qui vient d'être fait.
io3. Position du point après les deux rotations. — La décomposition de la vitesse de rotation
ROTATIO^î DE LA TERRE 177
diurne en deux composantes donne évidemment deux axes de rotation instantanée^ et si on voulait suivre le mouvement réel du point O tout autour de son parallèle PO, les deux axes instantanés i\ et /\, cbanpreraienl à chaque instant.
Cela revient à dire, comme on le sait, qu'on doil adjoindre aux deux rotations i\ et r^ une translation pour ramener le point O à sa position réelle 00' = aV sur le parallèle PO.
La rotation j\ autour du raA on CO ne déplace pas le point O La rotation r\y déplace le point O sur un grand cercle perpendiculaire au méridien, passant par lo rayon CO et tangent au parallèle en O. Le point O se sera déplacé sur ce grand cercle d'une certaine quantité 00' au bout du temps t.
Il faudra donc calculer le déplacement 0''0' a foire subir aux axes des coordonnées pour les ramener de O" a la véritable position O' de l'observateur.
104. Calcul des effets des deux rotations élémentaires. — On a, a étant, par définition, la rotation CA autour de l'axe de la terre.
Rotation i\ suivant OC : r^ = a, sin).
— i\ — C\ : r, = a cosX.
Rotation f\. — En n'ayant égard qu'à cette rotation autour de CO, les choses se passeront comme si le tir avait lieu au pôle et comme si la vitesse de rotation de la terre était devenue égale à a sin X. Donc, pour avoir l'effet de cette rotation, il suffit dans les équations du n" 90, de mettre a sin X à la place de a.
X,, jj, Zj désignant les positions de a:, y, z, après cette rotation on aura :
X^ = X, Ji = Ji ^1 = 8,/d: sinX.
Rotation i\. — Pour avoir les valeurs a?^, y,, z^ de a?,, y^, Zp après la rotation f\^ il suffit de remplacer d'ans les formules du n^ 94 (tir à l'équateur dans une direction quelconque) la vitesse a par sa valeur réduite a cos À. Il viendra donc :
x.^ = x^ — B,t (y -\~ ~- J cos X sîn jjl
J2 = y^ + atx cos )x sin u. -| Brt^ cos" A
Z.^ = Z^ SLt (y 4" ^TT- ) cos X cos [X.
Somme des deux rotations. — En remplaçant alors ^Li ïi-» ^n P^^ leurs valeurs, il viendra les formules suivantes :
jg = y + ato cos A sm [jl H a^r cos" À
Zg = a^x sin A « ^ / " I -^
a/ [y H- ~T-) cos a cos [j..
io5. Déplacement de l'origine — Reportonsnous à la figure du n° 102 que nous représenterons cidessous en adoptant le plan du méridien du lieu du tir comme plan du dessin. Après les deux rotations, l'ori-
ROTATIONS DE LA TERRE
gine est venue sur un grand cercle tangent en au parallèle, au point O" tel que
arc 00'' = Ra/ cos A
(a cos X étant la composante de la rotation r.J .
Mais, dans le mouvement réel, l'observateur est venu en O' sur le parallèle, en un point tel que
00' = Ra/ cos 1.
Il s'agit de ramener 0'' en 0' par le calcul d'une correction appropriée.
Fig. 55.
1*^ Réunissons le pôle N aux trois points OO'O". On a, dans la sphère de rayon i :
00' = 00'^ = a/ cos l
0>iO' = 2iL Le triangle sphérique NOO" rectangle en O, donne cos jNO'' = cos jNO cos 00'' = sin X cos (ai cos)x)
et
sin ONO" = i!" ^^"
sin (ai cos X)
d'où :
sin NO" y/i sin^ X cos^ (ai cos X)
^^-^,, cos X cos (ai cos X)
cos 0>0 ' = . . . ., .
y I — sin^X cos^ (a/ cosX)
Mais
0"N0' = ONO' — ONO" = ai — ONO",
i8o LA TEKRE
Formons le cosinus de cet angle 0''N0'.
On aura :
cos 6^' = cos Sit cos 6m)'' + sin a.t sin 6^"
cos A cos Sit COS (af cos a) + sin a/ sin (af cos à)
y 1 — sin^X COS" (a^ cos A)
2° Dans le triangle spliérique XO'^O', on connaît
maintenant deux côtes ^0' = ). et NO'^ tel que
cos iSO'' = sin ). cos (a^ cos X)
et l'angle compris 0''N0^ On aura pour le 3° côté O'O '^^ la formule :
cos 0'0''== cos yO'^ cos N0'+ sin NO'' sin NO' cos O'^NO'
c'est-à-dire :
cos O'O'^ = sin^X cos (a^ cos ).) + cos"). cos a/ cos (a/ cos a)
+ cos A sin a/ sin (a^ cos X) .
Développant suivant les puissances de a^, il viendra :
cos O'O' == I ô — sin^ A cos^ ). -|
ou, puisque cos x = i 1
0'0'' = -?:^sinXcosA+- •
Sur la sphère lie rayon R, la distance O'O'' cherchée sera ainsi :
sin A cos A, ou bien — ; — sm 2A.
ROTATION DE LA TERRE l8l
3^ D'autre part, Fangle 0'0''N, s'obtient par la for-
mule :
. ^<;^ ' . r<:^n sinNO' sin 0'0"1N = sin O'INO'- . ^,^„ .
sin OU
En substituant les valeurs de O'NO'', de NO' et de O'O" ci-dessus et en développant suivant les puissances de a/, on trouve :
sin 0'0''N = 4- a^ sin A + .-•
4" Figurons maintenant le plan jV
tangent à la sphère en ()'; c'est la position actuelle du plan de projec- jp
tion où Taxe des x fait l'azimut a . Ç:'Ki/^\ avec le méridien ON. Le petit arc o" \^
O'O^' est dans ce plan et on a : p. r?
Q,Q„ ^ Ra2^ ^.^^ ^. ^/^, = 4- a/ sin A.
A l'aide de ces valeurs, on trouve que les coordonnées du point par rapport aux axes passant par le point ' sont, au degré d'approximation voulu :
suivant Ox :
O'Q = O'O^' cos /= O'O'' cos U— ^ alsinl
= — - — cos p. sm 2 A sui\ant Oz : ^
O'^Q = 0^0^' sin i = OW sÏTiU—^ àisinX]
Ra^/
— — sm [j. sm -iA.
5° En transportant Torigine du point 0'^ au point 0\ les formules données précédemment ( i o4) , deviendront :
x' = x — a/ ( y + -^ j cos \ sin jjl — y' = y + B.tx cos X sin jj. H a'"^/"
— ; — sm 2 A cos UL
cos^X
a/jc sm A — an y + y-- \ cos A cos a
Ra^<
sm 2A sin [À,
Telles sont les formules générales que nous nous proposions d'établir.
Remarque. — Il est clair que pour passer des axes en O"' aux axes en 0', il n'y a pas lieu de faire une rotation de ces axes, puisque une rotation d'un arc a/ introduit des termes en a*^/- et qu'ici l'arc O'C est déjà de l'ordre de a-/-.
106. Résumé- — En désignant par Aa?, Ay et Ac les variations produites sur les coordonnées de la trajectoire relativement au plan de projection par la rotation de la terre, on aura :
Ao:
^ . Ra^/- . .
. , cos A sm «j. ; — sm 2 A cos a
Ay = ato cos a sm ui H a"^ cos" a
Az = ate sin X — an y + —:— ] cos \ cos [x
Ra-/- . , .
— ; — sm 2A sm a.
ROTATION DE LA TERRE l83
De ces trois formules on déduit l'équation :
\x cos [x cos X -|- A j sin a — Az sin [x cos X = o
Or, les coefficients de Ax, Ay et Ac sont les cosinus des angles que l'axe de la terre fait avec les axes des x^ y et z. Il s'ensuit donc que la somme des projections, sur Taxe des pôles, des variations produites par la rotation de la terre est nulle ; ce qui fait voir que la rotation de la terre n'augmente ni ne diminue la distance du projectile pendant toute la durée de son mouvement au plan du parallèle passant par le point de départ.
Ce résultat pouvait être facilement prévu ; en effet la rotation de la terre ne peut évidemment engendrer que des vitesses et des forces normales à l'axe de rotation, lesquelles ne peuvent ni augmenter ni diminuer la distance qui sépare à chaque instant le projectile du plan de l'équateur.
I 3. — Applications des formules
