VT

fc:| ?<

es es

M vr

. vr

192 Li TERRE

2* Calcul de AZ.

AZ = AZi + AZ> + AZ,

AZi = — T" * ^'^ ^* ='*^" * ^^^ *•

3 \ J AZ> = — r a cos A sin^ a cos ;x

AZ^ = \ a sin '2/. sin- a sin a.

ROTATION DE LA TERRE

M vt

CTi

iro

va-

es O

<ro

a fo

o a fo

a îM

On voit que le terme AZ3 qui provient, comme on sait, de rabaissement de l'origine et qui renferme le rayon terrestre R est presque toujours le plus considérable ; mais il s'annule au pôle et à Féquateur.

Exercices. — 1° Donner les formules faisant connaître AT, AUw, Aw, au point de chute de la trajectoire dans le vide.

'2° Calculer les corrections du sommet de la trajectoire.

3» Quel est l'angle de projection donnant une correction AX maximum?

Rép. — L'angle a est tel que

3Racos>.~ (7 - 4 cos- a) cos a = y^^i„|^

I 6. — Cas du tir de plein fouet

III. Modifications de la théorie dans le cas du tir dans l'atmosphère. — Dans rétablissement des formules précédentes, on a admis Thypothèse du tir dans le vide à deux endroits :

i*^ Quand on a supposé que la déviation latérale, produite par Tattraction oblique, n'était pas influencée par la résistance de Tair (92,i"a).

2" Quand on a supposé, de même, que la projection verticale de la trajectoire (gS) n'était pas influencée par la résistance de Tair dans le calcul de Teflet de Fattraction oblique.

Les trois autres corrections qui entrent dans les formules et qui tiennent soit à la rotation des axes (io4), soit à la translation de t origine (io4), soit enfin au transport final des axes^ du grand cercle au parallèle de Tobservateur (io5), sont exactement les mêmes dans le

ROTATION DE LA TERRE

vide et dans Tair. Ce sont, en effet, des corrections purement géométriques.

Nous nous proposons ici d'indiquer comment on pourra traiter le problème pour le cas du tir de plein fouet en introduisant l'action de la résistance de Tair.

112. Déviation latérale- — La force qui produit la déviation latérale (92) est — g?Lt et on a écrit, dans le vide, pour la déviation z^, l'équation différentielle :

± =f gB,t.

Soit, dans Tair, la courbe des z^en fonction de Tabscisse x et soit tj Tangle qu'elle forme avec l'axe des x.

La résistance de Tair qui est tangentielle aura une composante cFcos t sin T^ , de sens opposé à — f/a/, de sorte que, dans le tir de plein fouet (t = 0), on écrira, vu la petitesse de 7) et en changeant les signes :

7^ == + gB,t — cF sin 71,

Mais on a :

dz^ = f^dx

et comme

d'où

d'z dt'

dr^ dx d'x

1t~dt "*" ^' 1F

«, et

dx'

il viendra :

rfr,

d'où

- = — cF

Ces intégrations se feront par T introduction de fonctions balistiques spéciales. On a :

f— S — Sq . j I du 1 uda

c c F cl

Donc :

«a , , ., , oa i^" </a /•" f/u

11 suffirait donc de posséder une table de la seule fonction balistique nouvelle :

r^ du r du

pour pouvoir résoudre le problème.

Exercices. — i^ Appliquer ces formules au cas de F(i;) == BnV" et donner 1 expression complète de Zy .

'2° Dans le cas général, on aura une valeur approximative de Cl en opérant comme il suit : dans r, remplacer / par it et le faire sortir du signe f ; on a

r"" dt ti r^" du B,h

puis

Siti ( uda udu\ atz r- , s n

-i = — ^(j-p Jo-p-)=— [A— Ao~Jo(D — Do)J

ROTATION DE LA TERRE 197

An point de chute, on a

/ = T et a; tg a = 4 [A — Ao — Jo (D — Do)]

il viendra

Zi = eaTX tg 3c.

Déterminons e de manière que, dans le cas du vide, on ait

Zi = (/a -77- ; on trouve e = —- et par suite

Z,= ~TXtga

1 13. Correction de Tattraction oblique dans le plan de projection. — La composante de l'attraction oblique étant — gB,t^ les équations du mouvement dans l'air seront, dans le cas général :

(Px ^

-7-7- = — et cos T — r/a^

-777 = — cv sm T — q

On opérera, pour la transformation de ces équations, exactement par la méthode suivie pour Tétude de la correction due à l'obliquité de l'attraction sur la trajectoire elle-même f 78 . 2'^) .

. . qx

Seulement ici, le terme (/a/ remplacera le 'terme-™-

des équations du n" 78.

On aura ainsi, dans le cas du iiv de plein fouet ^ et avec la même approximation :

!l^=9(^±^A — ' dx=—-(i—JLeit] —

)s-T c\ cF /wF' c\ cF / udu

,. I / q \du , I / q \ udu

COS"T

ip!^ -n-

On remplacera dans ces formules t par ~ et

l'intégration en sera facile moyennant l'introduction de nouvelles yb/zc/('o/i5 balistiques .

Ainsi, l'hodographe exigerait l'introduction des intégrales :

*" da r du

uF-

etc.

Pour les calculs pratiques, on opérera comme au n° 78, en faisant une correction sur le coefficient balistique qui est ici

Pour le point de chute, on emploiera les formules différentielles qui donnent

avec

ÔX àc '

àe

ÔT

, etc.

c '1 cr

Cette correction, comme celle du n° 78, due également à

l'obliquité des verticales, sera extrêmement minime dans le

cas du tir de plein fouet.

Exercices. — i*^ Etablir les équations différentielles du mouvement dans le cas général. On a

, = — cF cos ': — gSit.

^ = - cF sm T - (7.

- = gSit — cF Tj cos T,

ROTATIO>( DE LA TERRE 199

2** Cas du mouvement vertical dans Vair, — On a

— =ga^t^cFr,.

Comme dx = r^dy, il vient

d-x df\ V d-y

Donc

c?Yî g Sit

dt V ^ V '

Dans le cas du mouvement descendant, le terme — r\

aurait le signe -J-.

114 Formules du point de chute — Il résulte de ce qui précède que, dans l'air atmosphérique et le tir de plein fouet, on aura, pour le point de chute, d'après les formules du n*^ 1 06 où on fait y = o

, ^. aTXot-a/ , tga\ . . Ra'T^ . .

X =\ "^.^ i-A — ^— ■ cosÀsma ; — sm2Âcosa

y' = G -|- aTX cos )v sin ui -| a"T" cos- X

aT Ra'T^

-' = aTXsinX —Xtg a cos a cos a-] — sin2Asin|jL

Appliquons la méthode du n'' 109 pour déterminer AX. ^ ^

On aura :

AX = y cotg iù — (X — x')

Fig. 58.

d'où

AX = — aT cos )v

X sin a H aT cos )s | cotg to

\ fj / le: a\ TT- ( I H — ^^— 1^' a sin a

T sin }. cos [A

[Dans cette formule l'angle w est Tangle de chute, supposé négatif.]

Pour la déviation AZ, on a :

AZ = aTX sin A —

-rr- X tg a COS A COS [JL

sin 2/ sin a.

I 7. — Sur la théorie classique du mouvement

dYn POINT PESANT PAR RAPPORT A LA TERRE

II 5. Du mouvement relatif — Xous nous proposons, dans ce paragraphe, de reproduire la démonstration classique, que Ton trouve dans les Traités de mécanique rationnelle, des Effets de la rotation de la terre sur le mouvement des projectiles ; nous ferons voir qu'elle conduit aux mêmes formules que celles que nous avons trou\ées par une voie géométrique directe, à condition de rétablir dans la solution le terme de la forme Ra"/" qui n'est pas, en général, pris en considération.

On sait q\ion peut traiter le mouvement relatif d'un point comme s'il s'agissait diin mouvement absolu

RO.TATION DE LA TERRE 20l

pourvu que Fou ajoute aux forces réelles qui sollicitent le points deux forces apparentes^ savoir la force (T inertie d entraînement et la force centrifuge composée.

La force d inertie d entraînement est égale et de signe contraire à la force d'entraînement, c'est-à-dire à celle qui solliciterait le point considère comme faisant partie du s}slème mobile.

La force centrifuge • composée a pour expression im (oiir? ''^ étant la masse du point, o) la vitesse de rotation instantanée du système mobile autour de l'axe instantanée de rotation ; u^ la projection de la résultante des deux vitesses v et v^ (v étant la vitesse absolue et i\ la vitesse relative], sur im plan perpendiculaire à Taxe instantané.

On aura donc, pour les équations du mouvement, en décomposant les trois forces F absolue, F^ d'entraînement, F,, centrifuge composée, sur les trois axes (0, a? y z) , trois équations de la forme :

•3^ = X — Xe + X,.

En appelant :

w la rotation instantanée comptée de droite à gauche, a, [i, Y les angles de l'axe de la rotation instantanée avec les axes rectangulaires mobiles Oa:, Oy, Or, on obtient trois équations de la forme :

Xe = 20) f

Q dz^ rfy>

cos p — cos Y -;-

' dt * rfr

tl'l >.'

On a ainsi, pour les équations du mouvement : d'x i r. dz dy\ ,. ^

et deux autres obtenues par permutation circulaire.

Appliquons maintenant ces formules générales et classiques au problème actuel.

Nous suivrons la démonstration de M. Résal *.

1 1 6 . Formules du mouvement d'un point pesant par rapport à la terre. — i° Nous rapportons ici le mouvement à trois axes rectangulaires :

i^ L'axe des x est le méridien (sens positif vers

l'équateur) ;

2° L'axe des y est la verticale (sens positif vers le centre de la terre) ;

3° L'axe des z est la tangente au parallèle (sens positif vers l'orient).

a est la vitesse de rotation de la terre, positive de droite à gauche pour un observateur ayant les pieds en C et couché sur CI, parallèle à l'axe de rotation de la terre. On a alors, en faisant dans les formules générales :

X — X, = o; Y— Y, = gr; Z — Ze = o

* Résal. t. I, p. 1 16.

4vV.

ROTATION' DE LA TERRE

les équations suivantes :

. (Iz

^ = j7 + 2acosA^,

. « (Lv

. dy^

. T == sa sm À -ï cos A — ^

Soit ^o la vitesse initiale du projectile, dont les composantes suivant les trois axes seront désignées par Vx, \y et V^. L'origine au temps t = o est telle que X = y = z ==: o.

2° Les formules précédentes sont intéy râbles quelle que soit la grandeur de la rotation a-

Les deux premières équations donnent immédiatement :

-'- = — 2az sin \ -4- Y^

dt '

dy . ,^

---= gt -\- 2Siz cos k + Vy

Eliminant z entre ces relations et intégrant, il viendra :

(p) xcos").+ jsinÂ = (VxCOsX-|-VYsin)v)/-|-^sin)..

d~z dx dy

Portons dans -7-^ les valeurs de— ,— et de—;-; on

dt' dt dt

aura :

Vx sin \ — Vy cos \ . gt cos X"

et rintégrale générale de cette équation est :

V^sin). — V^cosA gtcos).

âa

=M sin 2 a/+^ cos 2a^

dans laquelle M et N sont deux constantes qui se déterminent par les conditions :

On trouve ainsi :

-77 == Vj pour / = o

\xsin X — Vy cos).

■' '>=iO-+^)

et par suite :

Vj sin X — \ Y cos À

+ Vz +

(i — cos 2a/) g cos )A sin 2a/

gl cos \

En portant cette valeur de z dans l'équation qui donne et intégrant, on obtient la valeur de x^ soit :

X = \J — 2a sin A

Vx sin A — \\. cos A

sin 22it 2a

I /-- q cos À\ ,

gt' cos ).

ROTATION DE LA TERRE 2o5

Puis, de réquation (/>), on tirera la valeur de y qui est :

y = y^t -\-- \- 1?L cos \

Vx sin \ — Vy cos \ 2a

/ sin 2aA

ï Ar .7 COS >A . . qt^ cos A

3*^ Supposons maintenant que la vitesse angulaire a soit assez petite pour que, pour une durée qui ne dépasse pas certaines limites, on puisse négliger a^/^ devant l'unité ; on aura :

X = \J — aV^it^ sin a

y = V,i + ^- + aV,f- cos >.

z = \J -\- (Vx sin )v — Vy cos X) a^^ — "1^9^^ ^^^ ^^

Ce sont ces formules qu'il s'agit de comparer à celles trouvées précédemment (io5 bis).

4*^ Soit, pour le cas du vide, a l'azimut du plan de projection compté à partir de la méridienne ^ord comme au n° 94 ; nous changerons aussi le sens des axes des X et des y pour adopter les mêmes conventions qu'au n° 102. On aura ainsi, a étant l'angle de projection :

Vy = — Vy sin a ; V^ == — V^ cos a cos jjl;

Vz = \q cos a sin [jl.