Théorie de la toupie
1 33. Objet de cette étude. — Gomme second exemple du mouvement de rotation d'un corps solide autour d'un point fixe nous prendrons le cas de la toupie. Ce mouvement présente de telles analogies avec celui du mouvement des
LA ROTATION DES SOLIDES a 87
projectiles oblongs autour de leur éentre de gravité qu'il en constitue l'introduction naturelle, aussi bien dans la méthode suivie que dans les résultats trouvés.
La toupie est un corps de révolution dont le grand axe G de l'ellipsoïde d'inertie passe en un point fixe O, du sol ; les deux autres axes A et JB sont égaux. Nous appellerons b la vitesse angulaire de rotation de la toupie autour de son axe de figure ; b est donc égal à la rotation/) des formules d'Euler.
Oz étant la verticale du point fixe O, OA la direction de l'axe de figure au temps /, faisant avec la verticale un angle 8, la seule force agissante sera le poids appliqué au centre de gravité. ^*S- 7^-
i34. Théorème de la constance de b. — La seule force extérieure, le poids, rencontrant l'axe d'inertie principal OA, son moment N relativement à cet axe sera nul. La troisième équation d'Euler, où A = B, puisque la toupie est de révolution, aura donc son second membre nul et deviendra j
On aura, par suite, r= constante et comme on a, au lieu de r, adopté la notation b on dira :
La vitesse de rotation b autour de Vaxe de figure est constante pendant tout le mouvement.
i35. Hypothèses. — Supposons maintenant que la vitesse de rotation b, imprimée initialement à la toupie autour de son axe soit infiniment grande relativement à la vitesse initiale angulaire de déplacement ,6 de l'axe de la toupie autour d'un autre axe quelconque.
Par suite, l'axe instantané de rotation, dont on obtient la direction en composant les deux vitesses b et ^ sera très voisin de l'axe de rotation de la toupie et pourra être suppose en coïncidence avec lui, en première approximation.
a 38 LE PROJECTILE
II en sera de même de Taxe Oy du couple acquis à cause de la relation démontrée au n** 126.
%Ay = ^ tgAl.
L'angle A/ sera donc petit comme Tangle Al, à condition que le moment d'inertie équatorial B ne devienne pas trop considérable par rapport à C, moment d'inertie axial.
Nous excluons ce cas qui correspondrait à l'emploi de toupies très allongées et manquant de stabilité.
Ainsi donc, en première approximation^ nous supposons que les trois axes de figure OA, instantané de rotation 01, au couple acquis 0/ peuvent être supposés en coïncidence.
Ce sera le problème principal dit de la précession.
Ce problème une fois résolu, et le mouvement connu en première approximation, on introduira le petit écart qui existe nécessairement entre les trois axes et on achèvera le problème par l'étude de la nutation.
i36. Précession. — Soient, à un instant quelconque, OZ la verticale du point fixe 0, OQ l'axe du couple acquis qui coïncide par hypothèse avec l'axe de figure, G le centre Je gravité. Le poids p de la toupie qui est appliqué au point G à une distance / de la pointe O donne naissance autour de la pointe du projectile, à un couple accélérateur, contenu dans le plan ZOQ.
Prenons le vecteur OQ représentant, en grandeur, l'axe du couple acquis et soit H la projection de Q sur OZ. L'axe du couple accélérateur, dû au poids, est normal au plan ZOQ du couple acquis ; on sait de plus (i'^4) que cet axe représente toujours en grandeur et direction la vitesse du point Q extrémité de l'axe du couple acquis.
Donc 1° le point Q ne sortira pas du plan horizontal qui le contient à un instant donné, puisque sa vitesse est située dans ce plan ; '2° il décrira, dans ce plan, un chemin élémentaire perpendiculaire à HQ.
Par suite, les normales à la courbe décrite par Q dans
le plan HQ passent au point fixe H. Le point Q décrit donc une circonférence horizontale. L'axe de ligure (qui coïncide par hypothèse avec l'axe OQ) décrit alors un cône circulaire droit autour de la verticale OZ.
On appelle vitesse de précession la vitesse angulaire bp avec laquelle le plan ZOQ tourne autour de OZ ; c'est la vitesse angulaire du point Q sur la circonférence qu'il décrit. Or, sa vitesse linéaire est égale au couple accélérateur, dont l'expression est pi sin Ô. Donc, la vitesse angulaire bp (quotient de la vitesse linéaire par le rayon du cercle décrit) sera
Fig. 76.
bp =
pi sin 8 TIQ"
et comme HQ = OQ sin 5 il viendra :
pl ^P ■" OQ
D'autre part, le couple acquis, dans l'hypothèse admise de la coïncidence des trois axes, a pour expression Gb produit du moment d'inertie G par la vitesse angulaire de rotation b autour de l'axe de figure.
On aura ainsi entre b et bp la relation
bbn=Tr
Pi
Le produit de la vitesse de rotation b autour de l'axe et de la vitesse de précession bp autour de la verticale est constant. On sait que l'hypothèse de la coïncidence de l'axe de révolution et de l'axe instantané suppose que bp est très petit relativement à b ; cette formule permet donc de vérifier si cette hypothèse est compatible avec les valeurs de p, / et G de la toupie considérée.
Sens de la précession. — D'après la convention du n** 124,
•. » -«.««..ïri
Taxe du couple acquis de la toupie étant dirigé de en G, la toupie tourne sur la figure de gauche à droite. D'après la même convention, le couple accélérateur a son axe dirigé en avant de la figure perpendiculairement au plan ZOA. Puisque cet axe représente en grandeur et direction la vitesse du point G, celui ci se déplacera vers Tavant de la figure, c'est-à dire de gauche à ciroite pour un observateur placé debout suivant OZ.
Donc, pour un observateur placé debout sur le plan horizontal, la précession de la toupie est de même sens que sa rotation.
i^^. Nutation. — 1° Le mouvement du point Q, extrémité de Taxe du couple acquis étant connu par l'étude de
la précession, comment pourra-t-on en déduire, en deuxième approximation, le mouvement de Taxe de figure OA ?
Soit 0) la vitesse instantanée de la toupie autour de Taxe instantané 01 ; w est la résultante des deux vitesses de rotation, propre b autour de OA et de précession bp autour deOZ.
Les trois axes Q, I, A étant dans un même plan, celui de la figure, par exemple, A tourne autour de I avec la vitesse w et autour de Q avec la vitesse b^^ telle que
bpi lA angle lA
"w" ~~ QÂ "~ , O
angle QA
c'est-à-dire d'après la relation du n^ i35
b.N G co ~" B
2° Ceci posé, la pesanteur agit en G sur l'axe de révolution OA à une distance / de la pointe 0. Soit pris sur OQ la distance OG' = / et appliquons en ce point G' deux forces égales au poids p et directement opposées. Les trois forces de la figure sont équivalentes à une forcé verticale p
Fig. 7
LA ROTATION DES SOLIDES a4l
appliquée en G' et à un couple dont le moment a pour expression
p X arc GG' cos 8 ou bien ^^
pi cos ô X angle OA.
Mais ce couple ne peut produire qu'une vitesse du point A autour de Q de l'ordre de bp, vitesse de précession produite par un couple/)/ sin 8, et même beaucoup plus petit si 8 est assez différent de zéro. En tout cas, la vitesse de A autour de Q est infiniment petite relativement à la vitesse b^
2ui est de l'ordre de grandeur de la rotation autour de Taxe e figure.
3** Il est aisé maintenant de se faire une idée claire du mouvement de l'extrémité A de l'axe de la toupie.
Le point Q extrémité de l'axe du couple acquis décrit le parallèle du cône vertical d'angle 8 avec la vitesse de précession
pi
bp =
bC
Pendant ce temps, l'axe de révolution OA tourne autour
de OQ avec une vitesse b^ = "r ^> o^? ^^ degré d'approximation admis, avec la vitesse de nutation
G bN=-j^b
Cette vitesse bN est donc très rapide et de l'ordre de grandeur de la vitesse b autour de Taxe.
4° Reste à connaître la distance QA ou angulairement
l'angle QA.
On a d'abord
/^ B /x QA = -g-IA
BALISTIQUE. II. . l4
' L'angle lA de Taxe de rotation OA et de Taxe instantané 01 se déterminera dans le triangle lAO, où on a
OA = b
On a ainsi
sin8
et
AI=bp.
lA
d ou lA = — — sm à
Fig. 78. «P " «
ou bien, en remplaçant bp par sa valeur
lA = -^^^ sinS.
On aura par suite
y^ pi B
QA = 57 CFsmS.
Le point A décrira donc sur la sphère de rayon 1 , par son double mouvement de précession et de nutation, une cycloïdc sphérique dont le cercle générateur aura un rayon
et dont la base, lieu du centre du cercle générateur sera le lieu du point Q, c'est-à-dire le petit cercle d'angle 8.
5° On a supposé que le point A, à l'origine du mouvement, se trouvait placé à une distance
du point Q. Gela n'aura lieu que si l'axe de figure ne possède aucun mouvement propre initial, au moment où on abandonne le corps à lui-même. Dans le cas contraire, l'extrémité de l'axe de la toupie sera représentée par un certain point M, qui sera, dans tout le mouvement, relié invaria-
LA. ROTATION DES SOLIDES a 43
blement à la circonférence roulante de rayon s' de sorte que la courbe décrite par l'axe M pourra être une cycloide allongée si le point M, à l'origine, est à l'intérieur ;du cercle e^, une cycloide raccourcie si le point M est à l'extérieur du même cercle.
i38. Démonstration analytique.
Formules générales. — Nous allons traiter maintenant le même problème par le calcul en employant les aeux systèmes généraux d'équations différentielles Fig. 79. du mouvement établies au n° 112, la première en /), 9, r, se rapportant au mouvement relatif, le deuxième en 6 et «J^ se rapportant au mouvement absolu.
Transformation des équations en 6, cp et ^J/.
a) Multipliant la première par cos ^, la deuxième par sin o et retranchant, on obtiendra la première équation du tableau ci-dessous.
h) Multipliant la première par sin cp, le deuxième par cos cp et ajoutant, il viendra la deuxième équation du tableau
d^ (i) /)coscp--9smcp = -^
(2) ♦ p sin ^ -\- q cos cp = —7- sin
(3) r=^cos^+^.
c) Formons p^ -\~ q^', il viendra
d) Enfin dérivons, par rapport à i, l'équation
d^ p sin 9 + ç cos <p = —77- sin 6 .
II viendra, en combinant avec l'équation qui donne r
dp .
dq
d^ de d^
rf-+ .
(5) -:^sincp+;^cos(p=-r-^+'^7î-;57COsO+n^sine
dt
di
dtdt
dt'
•2** Equations en p, q, r.
En prenant les axes généraux, nous sommes obligés d'adopter des notations un peu différentes de celles du n** i i3 .
La verticale est Taxe OZ du système fixe.
Nous supposons Taxe de figure de la toupie dirigé suivant OZ' ; ce sera un axe prmcipal de l'ellipsoïde d'inertie qui doit être désigné par G; la rotation autour de cet axe est r.
Soit appliqué en G, centre de gravité de la toupie, son poids mg, à une distance OG = /. Le couple accélérateur a pour expression
mgl sin 9 == ksin ô,
Fig. 8o.
Ce couple est situé dans le plan vertical ZZ'N qui renferme la ligne des nœuds ON. Les composantes de ce couple sont
sur Oa/ h = k sin 6 cos 9
sur Oy' M = — /c sin 6 sin cp
sur
Oz'
Comme, de plus, le corps étant supposé de révolution, on a A = B, il viendra pour les équations du mouvement relatif
B -^ = (B — G) gr H- /f sin 6 coscp
B -^'= (G - B) rp — /f sin 6 sin cp
dr ^It^''-
i^ Solution da problème .
Première intégrale. — La vitesse angulaire de rotation autour de Vaxe défigure est constante.
La dernière équation donne, en effet, par l'intégration, r= constante. On posera r = Tq, Tq étant la vitesse angulaire initiale.
Deuxième intégrale (Intégrale des forces vives). Multiplions par/) la première équation et par q la seconde et ajoutons : il viendra
B f p -^ 4- <]f -^j = /f (p cos cp — 7 sin cp) sin Ô ou, d'après Féquation (i)
Intégrant, en désignant par Ôq la valeur initiale de 6, il viendra
B(p2 + q^) = '2.k (cos 00 — cos 9)
puisque la seule rotation imprimée au mobile est, à l'origine, To autour de l'axe de figure.
Troisième intégrale f Précession -tt |
Multipliant maintenant la première des équations enp, ^, r par sin cp, la deuxième par cos cp et ajoutant, il viendra
^ \~^ ^^^^~^ Ai ^^^ ? ) = (^ — G) r f^ sin cp — p cos <p)
En combinant avec les équations (i) et (5) et faisant r = To, on aura
T. ^'+ . n T. à\ d^ . r. d^ B^^sme + .B^g^cosô-Cro^ = o.
e = ôo et -Tr = o
a46 LE PROJECTILE
Le facteur sin ô rend le premier membre différentielle exacte et on obtient
B -77 sin- 9 -|-Grocos6 = const.
Déterminant la constante de manière qu'à Torigine.du mouvement on ait
d^ dt il viendra
d^ B —7- sin^ 9 = Gro (cos 0© — cos 6)
d'où, pour la vitesse angulaire de déplacement de la ligne des nœuds ou précession
d^ Gro cos 60 — cos Ô
"^"^'B sin^^
. d0 4** Equation différentielle de la natation -rr .
En combinant la deuxième intégrale (forces vives) avec
, , . .d'il
l'équation (4) et en remplaçant ensuite -rr par la valeur qui
vient d'être trouvée, on aura une équation différentielle ne renfermant plus que l'angle 0. C'est la suivante
c?0\2 G^o /COS0O — cos0\2 ik . ^
Jt) ^-W\ ^^70 ) = B- (^^^ ^^ - ^^^ ^^
Si on sait intégrer cette équation, sera connu en fonction de < ; on aura ensuite ^ par une quadrature, ainsi d'ailleurs que cp. Le problème sera complètement résolu.
licj. Cas particulier d'une vitesse de rotation très grande. — 1° Supposons maintenant, pour intégrer les équations ci-dessus, que l'angle demeure à peu près
constant pendant toute la durée du mouvement. Posons alors
= 6o + t et d^ = dt.
On aura
cos = cos 80 — s sin Oo ; sin 6 = sin Oq + s cos 60
En ne conservant que la première puissance de e, on aura :
cos ôo — cos . A . A
: — r = t et cos Qn — cos 9 = € sm Qo
sm
^^ L'équation en ( -tt ) devient donc et par suite, en extrayant la racine carrée
dt =
\/ikBtsïn% — Ory
On intégrera, en observant que pour s = o, on a < = o, par la formule :
