B / G-VJ

t = 7T— arc cos 1 i — tb—- — â" ^ Lro \ KD sm 9o

et par suite

/cB sin 80 / Gro \

Pour que la variable s reste toujours très petite, ainsi qu'il a été supposé, il faut que la vitesse de rotation Tq imprimée à la toupie autour de son axe soit, très grande.

3° La valeur de e ou de 8 étant ainsi connue en fonction

du temps, on pourra déterminer la précession dont l'équation, pour e très petit, devient

dt B sine^

k ( Cro \

La quantité entre parenthèses varie périodiquement entre o

d^ et '1 ; la vitesse de précession -rj- nulle pour ^ = o ou = ô»

atteint un maximum égal à

'li

quand

c'est-à-dire

Grp' Gro

/cB sin e,

Elle oscille ainsi périodiquement avec une période

•luB

Gro

En intégrant l'équation de la précession, il viendra

Si To est très grand, le second terme qui contient rj au dénominateur est très petit par rapport au premier et alternativement positif et négatif, de sorte que le mouvement moyen de la précession se réduit, à peu près, au premier terme

k Gro

et sa vitesse moyenne constante est

d^ k dt Cro *

On a d'ailleurs

k = mgl,

4*^ Comparons avec les résultats trouvés géométriquement (i36, i^^). On posera

-^ = bp; ro = b; k=pl; 6 = 8

On retrouve ici le théorème exprimé par

pi bbp = -TT

. pour la vitesse de précessjon bp indépendante de l'angle 8 d'inclinaison de l'axe de la toupie.

On trouve, comme précédemment, pour s la valeur :

La variable e nulle avec t, croît d'abord ; elle atteint son maximum

2 /cB sin 8e

^""^^ ~" Orl

lorsque ^p- t = i: c'est-à-dire

ir B

ToG

Elle décroît et redevient nulle pour

2 irB

roG '

Î>uis t continuant à croître, elle repasse périodiquement par e

les mêmes valeurs.

•i5o LE PROJECTILE

Ainsi, la nutation est un mouvement oscillatoire d'amplitude .., ^ et la duré T^ d'une oscillation complète

d'aller et retour est T^- = — -j- .

^uG /

Cette durée dépend donc de la vitesse de rotation r,)

et ae la forme du corps (B et G), mais ni de

l'inclinaison initiale Gq, ni de la force appli-

quée A:, quantités qui entrent au contraire

J^ff dans l'expression de l'amplitude.

%^' Chacun des festons tracés par le point A sur

la sphère et qui est décrit dans un temps

»g 8i. 'p^ __ — correspond à une rotation , •! T.kB