Calcul approché de la trajectoire- — Le
problème de la déviation des projectiles sphériques introduit donc dans les équations du mouvement principal une résistance qui n'est plus tangentielle.
L'angle qui définit à chaque instant la direction de cette résistance e^t une variable sans doute très complexe qui dépend de la rugosité du projectile, de son excentricité, de sa vitesse de rotation et enfin de la vitesse de translation.
Pour traiter un problème simple et donner une idée des déviations observées, nous admettrons que le corps est non pesant et soumis à une résistance du milieu qui fait un angle constant avec la direction du mouvement.
Ce sera, par exemple, la trajectoire d'un navire qui, machines stoppées, a sa barre maintenue à un angle i\\e ou encore la projection horizontale de la^trajectoire d'une balle de tennis lancée presque horizontalement avec un mouvement de rotation autour d'un axe vertical.
i"" Soit l'origine du mouvement ; Ox la direction de la vitesse inilialc \„; O:: un
axe perpendiculaire à Oa?, et M la position actuelle du mobile.
La tangente MT à la trajectoire fait avec l'axe des x un angle 6 ; d'autre part la résistance CF fait un angle constant avec MT.
Si v' est la vitesse en M, la projection des forces sur
PROJECTILES SPIIÉRIQUES ET DISCOÏDES 239
les axes donnera les équations différentielles suivantes :
rf(i'cos9) ^ .^
— ^ — i = — cb cos 1 —
(it ^
'^iq^ = cFsin(o-6)
La division membre à membre élimine cFrf/, et il reste :
sin (0 — Q) rf(t' cos h] -■= -^ cos (o — 6) rf (r sin 6)
En développant les deux différentielles et en faisant les réductions nécessaires, il vient :
dv
cote: dh
L'intégrale de celle équation est :
ly ;^^ Y ^— ÔCOtgX
C/est Téquation de Tliodograplie du mouvement, qui est indépendante de la résistance de l'air. Cette courbe est une spirale, décrits autour du point v == o, qui jouit de la propriété
d'avoir ses tansfentes tou-
i^tU
IJ
jours inclinées du m(5me 1 '. T'/./é'
angle 6 sur le rayon voc leur. On a en effet :
*gl
dv\
— tg 0.
Fig. 8î).
2' Temps. — En développant la première équation différentielle, il vient :
cos dv — V sin fj rfô
^F cos ^0 6^ dl
26o LE PROJECTILE
OU bien, puisque
— = — cotgùdi^
cos flv + sin 8 tg rfy = — cF cos (o — 8) J/
ce qui s'écrira
cos (S — 8) dv = — ' cF cos S cos (o — 8) dt
Donc
, dv
dt =
ccosôF(y) Par suite, le temps sera donné par la formule :
C cos ^ ^ ^ \ o/j
On voit que, pour o = o, cas où la résistance est tangentielle, le temps est bien donné par la formule ordinaire ; si = — , cela veut dire que la résistance agit
normalement à la direction du mouvement : elle ne dépend pas du mouvement de translation et on trouve un temps infini (mouvement uniforme), ce qu'on voit d'ailleurs d'après Téqualion v = V/-''*^^*^^ qui, pour
o = — , donne u = V^ .
\Y Espace parcouru. — Soit ds = vdt. On aura :
vdv
Is
cF(t') cos d'où
PROJECTILES SPHERIQUES ET DISCOÏDES '261
La longueur de Tare de courbe parcouru est donc la même que dans le cas du mouvement rectiligne, au remplacement près du coefficient balistique c par c cos o.
4*^ Coordonnées de la trajectoire. — Pour calculer x ctz, on aura les équations :
dx = r cos G dt^ dz = v sin dt.
d'où
, /' cos , , i) sin 9 ,
dx --^^ =^^ ^ oft», dt = = -^ dv
et cos cb coso
011 il faudra rcnq)laceri> etdv parleurs valeurs en fonction dô 0.
5^ Cas particulier. — Supposons, pour pouvoir faire l'intégra tiou, que le mi ieu résiste comme le carré de la vitesse et posons par suite :
cF = b,v^ ; il viendra :
cos ô dv sin 6 dv
tltXy "~~~ I > — — — ^^ ;;^^ ^^ ________
0) cos à V 6) cos V
dv
et comme = — coto- 6c/0,
il viendra
/ cos ,^ , sin
dx = -j — ; — ^ rtQ, dz = -, — -. — T a 6
O) sin ô 0) sin ô
et par suite, en supposant x ci z nuls pour 6 = o :
sin I
hy sin ' " hi sin 6
z = -j -. T- ( I COS ô)
En éliminant ô entre ces deux relations, on aura
'àZ ^
0) Sin
Ainsi, dans le cas d'une résistance quadratique , la trajectoire est une circonférence de cercle.
Le mobile décrira, avant de s'arrêter, un arc fini de cette circonférence ou au contraire la décrira indéfiniment suivant, que Tintégrale Dfo) sera Unie ou infinie.
Exercices. — Trouver la trajectoire dans le cas de
(résistance proportionnelle à la vitesss).
On trouve
x=Yo ^^ / e-ô^«'^^'cos0(/6==-r— ArT-rcos8 — cos(8 4-e)e-ôcoigq
z = \o^^ Pe-^'^^^^ sin 650 = . .\^ [sin 8 — sin (8 + 6) e-^^^'^S] C0\ ^y cOj^sin~o
i\\. Sur l'histoire de la théorie des déviations des projectiles tournants. — « Il semble que ce soit Robins qui, le premier, en 17^^, découvrit le lait que la rotation des projectiles peut produire des déviations ; il remarqua que, par la rotation, la direction de la résistance est changée, mais il n'alla pas plus loin. Euler qui traduisit en allemand l'ouvrage de Robins (17^4")) chercha la raison du phénomène dans le défaut de sphéricité du boulet ; il ne paraît pas du reste avoir aperçu la vraie cause des déviations.
« Lombard (1783) traduisit en français le même ouvrage de Robins et ainsi qu'Euler, il l'annota ; comme plus tard Poisson, il fait appel au frottement de l'air, ce qui, aiosi qvie nous l'avons dit (i »i), conduit à des ellcts contraires à ceux observ^és.
« En 179^4, la question fut proposée par l'Académie de Berlin comme sujet de concours. Ce fut l'occasion de recherches de Rolide (1795) qui attribua les écarts à la force propulsive de la fusée enflammée : l'Académie jugea
PROJECTILES SPHÉRIQLES ET DISCOÏDES 263
l'explication insuffisante, car les déviations se produisaient également avec des projectiles sans fusée.
« Hutton (1812), Gassendi (1819), Paixhans (18:^2), Terquem (i8'ji6) tentèrent vainement de donner une explication du phénomène.
\( Poisson lui-même (i834) ne réussit pas à découvrir la raison principale de ces déviations du projectile dont Texistence était si frappante : mais, comme il fallait s'y attendre, du moment qu'il s'occupait de la question, il s'y enfonça au plus profond. A l'aide de l'analyse, il examina d'abord l'influence de la rotation de la Terre, et la trouva trop petite pour pouvoir rien expliquer.
Il traita, en second lieu, de l'influence de la rotation du projectile sur le frottement dans l'air d'une sphère homogène et excentrique, et enfin, en troisième lieu, il chercha l'influence d'une sphéricité imparfaite.
(( On a déjà parlé de sa théorie du frottement ; nous avons vu que si, en tout cas, le frottement peut être la cause d'une déviation en dehors de la trajectoire normale, le calcul montre que la déviation ainsi produite est beaucoup trop faible. L'excentricité engendre ainsi qu'il a été dit, une rotation du projectile et par suite de petites déviations dues au frottement. Poisson traita également de la déviation des projectiles excentrés dans l'air et montra qu'il résultait de l'excentricité soit un mouvement de rotation du centre de figure autour du centre de gravité, soit un mouvement pendulaire de plus ou moins grande amplitude.
(( \eiimann fit appel, d'une manière aussi peu heureuse, h la force centrifuge. Enfin vint Didion (1841), qui est déjà très voisin de la véritable explication (celle de Magnus) avec l'explication que nous avons reproduite plus haut d'après lui, du phénomène {î\'j^). ^
« Timmerhaiis (1841) ne donna, à la vérité, aucune théorie, mais il arriva au moins à cette conclusion exacte : les déviations ne se montrent pour des sphères excentriques et homogènes que s'il y a rotation ; ces déviations sont, en gros, proportionnelles à la portée : donc leur cause réside à l'extérieur du canon.
« Le capitaine, puis général prussien Otto (1843) s'occupa
26 î LE PROJECTILE
de la question : il reprit la théorie de Poisson et montra (ju'en la suivant, les phénomènes ne pouvaient être représentés d'une façon satisfaisante.
« L'explication délinilive lui paraît celle-ci : « Soient deux éléments de surfacfe A et B également éloignés d'un
diamètre 1*Q tiré dans la direction du mouvement ; devant l'élément B dont la vitesse est augmentée par la rotation, il y a une
F lus grande condensation de l'air (jue devant élément A dont la vitesse est diminuée par la rotation. On voit que si Otto avait pris en
Fig. (ji. considération la couche d'air adhérente au
houlel, il aurait possédé la solution délinilive du prohlème.
(( Le major d'artillerie wurtemhergeois Ileim reprit en 18 j8, comme Otto, la théorie de Pois.son et la soumit à une critique serrée ; il apporta aux équations de Poisson, une simplification qui lui donna la trajectoire du centre de iigure, au lieu de celle du centre de gravité et lui permit de calculer le frottement tangenliel ; il montra comment des sphères excentriques exécutent d'ahord des rotations complètes, puis plus tard oscillent comme un pendule, autour du centre de gra\ité. Ses résultats sont négatifs en ce sens qu'il a été conduit à constater que la théorie de la rotation de Poisson ne pouvait servir à expliquer les phénomènes ohservés.
« Quatre années plus tard, en i8j'2, Magnus donna l'explication entièrement satisfaisante, à la suite d'expériences systématiques de laboratoire ^ »
14 >. Recherches expérimentales sur les projectiles excentrés. — En môme temps qu'on cherchait l'explication du phénomène, on l'observait systématiquement et on tachait d'en rendre les elTets constants et utiles.
Ainsi , avec des projectiles excentriques (cal. 22 ^"*, p = 28^, excentricité ()"',()()2) sous l'angle de 4°, 6, Didion
* Crvn/, 1, p. 207.
PROJECTILES SPHERIQUES ET DISCOÏDES
(1839) obtient, à Metz, avec le centre de gravité placé initialement au-dessous du projectile de manière à produire une rotation vers le bas, une portée de i ioo"\ Avec le centre de
Fig. 9'2.
Fig. 93.
gravité au-dessus, de manière à produire la rotation vers le haut, la portée est de i44^)'"-
La rotation produit reflet d'une force verticale de '2'", 5 relativement à la gravité 9"S8i, c'est-à-dire considérable.
Le major Heim à Ulm (1848), avec des obus excentrés, lancés par des mortiers obtint des trajectoires complètement rétrogrades comme celles figurées ci-contre.
« Avant l'adoption des cavnons rayés, de nombreuses études et tentatives ont été faites soit pour annuler cette rotation, soit pour la régulariser.
« Théroux propose, du moins pour les bombes, de munir le projectile d'un appendice qui ne pouvait s'en séparer, c'est à-dire un autre projectile plus petit réuni au premier par l'intermédiaire d'une chaîne. Comme la rotation que tendait à prendre la bombe n'était pas très rapide, le second projectile, restant en arrière, empochait la rotation du premier^.
« D'autres dispositions ont été essayées, mais elles ont donné des résultats nuls ou tellement médiocres, qu'ils ne
* L'idée de munir d'une sorte de queue stabilisatrice les projectiles pour leur assurer une bonne régularité de mouvement a été appliquée mémo avec les projectiles oblongs. Au moment des recherches entreprises au jx>lygone de Gàvre pour l'emploi de l'artillerie rayée ( i 8.)4 environ) ou a expérimenté des obus oblongs lancés par des canons lisses, mais munis à l'arrière d'nn faubert qui formait un prolongement souple du projectile. La tenue dans l'air de ces obus oblongs a été satisfaisante et leur pointe était toujours couchée sur la tangente de trajectoire.
compensaient pas les inconvénients de leur adoption en service. On a proposé alors de régulariser la rotation en donnant aux projectiles sphériques une excentricité artiiicielle considérable et en les plaçant toujours dans une position identique dans l'àme.
« Toutes ou presque toutes les artilleries d'Europe ont entrepris de nombreuses expériences sur le tir des projectiles excentrés; les conclusions n'ont pas toujours été concordantes (piant au degré de leur précision. îl a paru toutefois hors de doute que les bouches à feu courtes étaient celles qui utilisaient le mieux rcxcentricité des projectiles, et la raison en est simple, les battements dans ces bouches à l'eu étant peu nombreux. Quant aux autres, les a\antages n'ont pas semblé compenser les difficultés que présentait la mise en place dans une position constante, des projectiles au fond de l'amc.
« En Prusse, on avait adopté tout un système d'obus et de bombes excentrés. 1^'excentricité était duc à un déplacement du centre de la chambre intérieure du projectile.
« CiCtle chambre n'était pas sphérique, mais présentait la forme d'un ellipsoïde allongé de révolution ayant son grand axe assez dilférent du petit et placé perpendiculairement au plan du tir. Cette disposition avait pour but la stabilité de rotation ^.
' « Pour (pio la roiaiiou cruii projectile soit stable, on cherche à ce que celle-ci s'elTectue autour de l'un cle« deux axes principaux auxquels appartient le plus grand et le plus petit moment d inertie. Par conséquent, l'axe de fijfure d un corps de révolution est un axe de stabilité, puisque U", moment d'inertie relatif à cet axe est maximum ou minimum, les deux
autres axes étant égaux. Cet axe est donc le seul axe de stabilité et le projectile est dautant plus stable qu il a un moment d inertie plus considérable par rapport à cet axe. Les projectiles sphériques excentrés de la façon dont ils sont construits ordinairement [deux sphères de centres dilTércnts| sont des corps de révolution autour de la ligne des centres ; par conséquent, leur rotation s'efTectuant autour d'un axe qui ncst par Taxe de figure (mais qui lui est perpendiculaire), doit être instable. Et c'est dans le but d'éviter cet incon>énient que l'artillerie prussienne avait donné au vide
Fig.
Fig.
PROJECTILES SPHERIQUES ET DISCOÏDES
« Pour le tir de plein fouet, on plaçait le centre de gravité en haut et pour le tir en bombe en bas.
« Quand le centre de gravité était en haut, le tir était tellement tendu que l'angle de chute était parfois plus petit que l'angle de projection. Quand le centre était en bas, la rotation produite par l'excentricité s'ajoutant à celle qui était produite par le premier choc des gaz sur le projectile et du choc de ce dernier sur la génératrice inférieure de l'àme, la rotation résultante était plus rapide, la Ï)réccssion était plus grande. Par l'effet de cette rotation, a courbure de la trajectoire était plus prononcée que dans le cas ordinaire, ce qui était un avantage dans le tir courbe, puisqu'on pouvait alors obtenir avec un angle relativement faible d'élévation un angle de chute considérable^. »
if\6. Projectiles lenticulaires. — Avant l'adoption des projectiles oblongs et comme suite naturelle des recherches sur les projectiles sphériques excentrés, on étudia des projectiles lenticulaires, lancés de façon que leur plan équatorial coïncidât avec le plan de tir et animés d'un niouvement de rotation autour de l'axe de ligure. Relativement aux projectiles sphériques, ils présentent l'avantage de posséder, sous le même volume, une résistance moindre et ensuite d'avoir une plus grande stabilité sur leur axe de rotation.
Les procédés pour assurer la rotation sont différents suivant les inventeurs.
Fig. 98.
Ainsi de Payât (art*^ belge) prend un projectile en forme
intérieur des projectiles la forme d'un ellipsoïde allongé [pour rendre horizontal' laxc dinerlie principal du solide] . »
• Sivcci, p. i3i.
de tore a\ec un vide excentré et le tire dans un canon à Ame ovoïdalc.
De Saint-Robert (art® italienne) (1877), proposait un canon courbe, concave vers le bas et lançant un projectile lenticulaire. !^e frottement sur la génératrice inférieure de Fàme engendrait la rotation.
Enfui en 187 ^ la marine française a essayé des mortiers à disques : un tenon lixé au disque s'engageait dans une ravure parabolique de l'ànie du mortier; ou encore le disque avait son pourtour taillé en dents de scie sUr lesquelles agissaient les gaz de la poudre,
<( Les qualités des projectiles oblongs qui ont fait remplacer les projectiles sphériques et les projectiles lenticulaires sont : 1" la précision ; 2*^ la masse relativement considérable qu'ils possèdent à égalité de section par rapport aux projectiles sphériques et a fortiori aux projectiles lenticulaires ; 3° la possibilité d'employer uuq fusée percutante.
« Les projectiles oblongs ont été proposés, en i8'|5, par le général italien (]avalli ^ )).
§ 2. — Mouvement dans l\\ir des projectiles discoïdes
i47- Hypothèses — Outre le cas du mouvement d'un corps de révolution dans le vide (chap. vu, | 2), il existe un second cas où le couple de la résistance de l'air est nul : c'est celui où la résultante des actions de l'air passe constamment par lo centre de gravité du projectile.
Cette circonstance se présentera, à peu près, dans le cas du mouvement de disques tournants, tels que les projectiles cylindriques homogènes, à condition toute ibis qu'on admette que, sur l'avant du mobile, la résul-
* SiAcci, p. i35.
tante des actions de Tair est normale et passe par le centre de gravité de la tête, et que sur la partie cylindrique, il en est de même, pour la même raison de symétrie.
Ces hypothèses ne sont certainement qu'une première approximation du phénomène physique* ; il en est de même de la loi d'action de Tair qu'on adpiet pour pouvoir traiter le problème, et qui est la sui- /gs vante :
Si un plan a^ se meut dans l'air avec une vitesse u et que sa normale fasse un angle 3 avec la direction de cette vitesse, la résistance que l'air lui oppose est due à la seule vitesse normale r cos 8 appliquée au centre du plan. Elle sera donc exprimable par la formule
S,F [v cos
S, étant la section du plan a^.
Un second plan a'^' perpendiculaire aurait une résistance donnée par la formule S^F (y sin o). S, étant sa section.
La nature de ces hypothèses ne permet d'espérer, par leur développement, autre chose qu'une indication qualitative sur les phénomènes qui se passent en réalité. Elles suffisent cependant pour expliquer certains mouvements balistiques, d'apparence paradoxale, qu'on peut avoir l'occasion d'observer.
' En particulier la résultante ne passant pas exactement par le centre de gravité, il se produit un couple perturbateur qui donne lieu à des phénomènes de précession et de dérivation analogues à ceux qui sont étudiés au chapitre ix.
i4S- Équations du mouvement des projectiles cylindriques. — Supposons qu'un disque soit animé d'une grande vitesse de rotation autour de son axe de ligure, et qu'à l'origine du mouvement, cet axe coïncide avec la tangente à la trajectoire qu'il va décrire dans l'air sous l'action de la vitesse V^ qui lui est imprimée ; l'angle de projection est a.
Tout d'abord, la vitesse de rotation restera inchangée,
et Taxe de rotation conservera une direction fixe dans l'espace ; prenons pour axes de coordonnées 0;, direction de la tangente initiale, et O!^ perpendiculaire. Soit M un point de la trajectoire et o l'angle de la tangente Mï avec la normale au plan de la tête du projectile.
D'après les hypothèses faites plus haut, les composantes de la résistance seront :
Fig. 100.
suivant 0; :
suivant Oî^ :
Sj F (rcos S) S., F (l' sin S)
de sorte que les équations différentielles du mouvement seront, en projetant d'abord sur 0;, puis surO Z :
-j-T = — ^ sin a — S, F (v cos 0)
~ = g cos a — S^ F (i' sin 2)
Mais, on a
(It ~
V cos
et
dt
V sin
Par suite, les deux équations diflerentielles deviennent :
d 'V cos 5)
dt
= — gsinoL — S^ F (i^ cos 5)
d (v sin 5) Q T^ / • ^\
^ , = g cos a — S.^ r [v sin o)
Ainsi donc, les variables sont séparées ; les deux mouvements suivant les axes sont indépendants Tun de l'autre, et sont ceux d'un point lancé verticalement en l'air,' problème dont la solution est connue \
On aura :
^tcos^ J (il cos S)
suivante^ : t = — / — -. ' ^ / >-.
Jvq ^f sin a + i^^ r [v cos o)
*v cos s ^, çQg 2 d (i; cos o)
g sin a + S, F (u cos o)
et, suivant 0^, deux formules analogues, au signe prcs de g au dénominateur.
L'élimination de v cos o donnerait une relation entre Ç et t.
L'élimination de v sin S donnerait une relation entre t et t.
L'élimination de t donnerait enfin l'équation de la trajectoire.
i49 Formes de la trajectoire — i"" Le mouvement suivant l'axe 0; est celui du mouvement ascendant ; la vitesse v cos o part de la valeur V^,, diminue et s'annule enfin pour une certaine valeur (4, ^j.) ; la
* Cu. 6, chap, m.
LE PROJEirriLF
>il^7*s^ V î^era alors iliri^ée parallrlemeol à l'axe 0^. A partir de ce niomenl, le mobile redescendra et son mouvement, parall/'lement à l'axe des ç, sera réglé par Téqnation :
i = n sm a — >, r l'cos o)
qui est celle du mouvement descendant.
2" Suivant Oî^, on a un mouvement descendant, partant du point O avec une vitesse V^ sin qui est nulle, puisque = 0.
La quantité v sin 8 augmentera donc constamment jusqu'à une vitesse u' terminale , donnée par Téquation :
g cos a = S^ F (v' sin A)
A étant la limite de S.
Fig. loi. D'autre part, l'autre
équation du mouvement (suivant 0$) donnera entre v' et A la relation finale :
1/ sin a = Sj F (i'' cos A)
On p(Mil donc déterminer A et & par cette double relation :
y^ Application. wSoit, par exemple :
\\v) = Hnt'". (/i> o).
On aura pour déterminer l'angle limite A, l'équation
ig-Atg«=-g-^
Si S^ est très petit relativement à Si, on a A = — .
Si Si est très petit relativement à S2, on a A = o.
Fig. 102.
Fig. io3.
Fig. 104.
Fig. 10.).
Dans le cas où A est difl'érent de ces deux limites, la courbe (çO admettra une direction asymptotique qui sera inclinée dans un sens ou dans l'autre relativement à 0$
TT
selon que A sera plus petit ou plus grand que a
TT
La condition A < a revient a tff A < cotff a, c est-
a-dire
tg" A < cotg^ a
d'où :
-^^ cotg X < cotg° a, c'est-à-dire tg"'"* a < -^r^
Si cette condition est réalisée (a > o), la trajectoire coupe une seconde lois la verticale du point de départ et le projectile revient ainsi en arrière. C'est le cas que représente la figure io3.
Il existe une branche ascendante de la trajectoire en amont de l'origine (branche 00). Elle correspond au mouvement ascendant depuis v = 00 jusqu'à v= Vq sur la tangente Oç et depuis v = oo jusqu'à v = o sur la ligne Os^.
Pour dclenniner la direction de la trajectoire au point il, remarquons que la trajectoire est, pour les très grandes valeurs de v, presque rectiligne [g négligeable devant F(i^)] . L'angle ô varie ainsi très peu et est très voisin de sa valeur initiale ô'. Supposons F(i'j = Bj^v**, les équations du mouvement seront ;
cos o' —rr = SiV° cos° ô'
sin ô' —7— = hjV" sni° 6' dt
ce qui exige, en divisant membre à membre, que
. s Si cos"-* 8' = S^ sin-^-^a^ d'où tg° S' = -^r^ ;
8 est l'angle limite, pour v == 00, de la trajectoire.
4^ On pourra donc figurer Fensemble de la trajectoire par la figure 106 qui présente une boucle.
Si \ = — , on a = —
A = o, on a 0' = o.
Le cas où, par exemple, S^ serait petit par rapport k
Fig. loG. Fig. 107.
S^ est celui qui est représenté fig. 107. La trajectoire présente un point d'inflexion.
PROJECTILES SPHERIQUES ET DISCOÏDES 27S
Dans tous les cas le point de chute s'obtiendra en cherchant l'intersection de la trajectoire et de la droite Ç= :; cotga.
i5o. Cas général. — Supposons maintenant que Taxe de rotation du projectile ne coïncide plus, à l'origine, avec la tangente à l'angle de pro- ^ jection. . j^
Prenons pour axes OX, l'axe de figure jf^ \;^
du projectile à l'origine et un plan YOZ /'\ Viji perpendiculaire à OX. Ce plan sera ^ % \ celui de l'équateur à l'origine du mou-
. Fig. [08.
vement. °
Sur OX, la somme algébrique des projections des forces qui sollicitent le mobile arrivé en M et resté toujours parallèle à lui-même, sera composée d'un terme constant dû à la pesanteur, et. d'un terme dû à la résistance de Tair, fonction F(v cosô) delà vitesse v cos 9 du rnobile estimée suivant cet axe, d'après les hypothèses qui ont été faites au n'* 147.
Le mouvement du centre de gravité parallèlement à Taxe OX serait donc celui d'un disque isolé et sera réglé par les équations du mouvement vertical.
Sur le plan fixe YOZ, la somme algébrique des forces qui sollicitent le mobile sera composée d'un terme constant provenant de la pesanteur et d'un terme F (v cos 9^) fonction de la projection de la vitesse sur ce plan, toujours d'après les hypothèses faites. Et cette résistance sera tangentielle relativement à la projection de la trajectoire sur le plan YOZ, de sorte que le mouvement de la projection sur ce plan 1° est indépendant
du mouvement suivant l'axe OZ ; '^^ est le mouvement d'un point matériel soumis à Faction d'une force constante et d'une résistance tangentielle. — C'est donc le problème ordinaire de la Balistique du point matériel.
La question est ainsi ramenée à l'étude du mouvement de deux projectiles, l'un qui glisserait sans frottement sur l'axe des x en le touchant par sa génératrice, et auquel on aurait imprimé une vitesse initiale égale à la projection sur cet axe de la vitesse initiale du projectile libre ; le second qui glisserait sans frottement sur le plan des yz en le touchant toujours par sa base et auquel on aurait imprimé, à l'origine, une vitesse égale à la projection de la vitesse initiale sur le plan yz.
Ces deux projectiles sont les projections du projectile réel pendant son mouvement dans Tair.
i5i. Projectiles discoïdes. — Entre les projectiles cylindriques dont la théorie vient d'être exposée et les projectiles discoïdes^ la différence est la suivante : l'axe de rotation des premiers est V dans la direction de la ligne de projection ;
Fig. 109. Taxe de rotation des seconds est perpendiculaire à cette ligne. Exemple des projectiles discoïdes : palet lancé avec mouvement de rotation initial. Mais, au point de vue de la théorie, les deux genres de projectiles conduisent à la même trajectoire : on a supposé seulement, en effet, pour établir les formules, que le mobile était de révolution et se maintenait parallèlement à lui-même pendant tout le mouvement. Ce parallélisme doit sa conservation au mouvement de rotation initialement donné au projectile autour de son axe de révolution .
PROJECTILES SPHERIQUES ET DISCOÏDES 277
Les propriétés des projectiles discoïdes d'avoir une trajectoire en certains cas rétrograde et capable par suite d'atteindre un but caché derrière un couvert ont attiré l'attention de quelques artilleurs et on trouvera dans la traduction française de la Balistique de Siacci une note du colonel Chapel qui préconise ce genre de projectiles ^
Jusqu'à ce jour, l'artillerie ne les a pas utilisés.
132. Boomerang. — A la théorie des projectiles discoïdes se rattache immédiatement celle de l'arme australienne dénommée boomerang. ^ C'est un bâton recourbé en forme d'arc parabolique, aplati de manière à présenter par la tranche une très faible épais- Fig. no.
seur.
« Pour lancer ce projectile, on l'incline par rapport à l'horizon et on lui communique à la main, dans son plan, un double mouvement, savoir une translation et une rotation autour de son centre de gravité. Le boomerang s'échappe et, en général, on le voit décrire dans l'air, en tournant sur lui-même, une parabole qui reste sensiblement dans le plan incliné de l'appareil au départ. »
« Le boomerang peut être regardé comme symétrique par rapport à son plan moyen. 11 en résulte que son ellipsoïde central d'inertie a ce plan pour plan principal ; la perpendiculaire au plan moyen élevé au centre de gravité est donc un axe principal, c'est-à-dire un axe naturel de rotation, autour duquel la rotation, une fois commencée, peut se prolonger indéfiniment si des forces n'interviennent pas pour la modifier -. »
* Les trajectoires qui y sont calculées sout celles résultant des deux mouvements suivant les axes 0| et O^ (140). Mais l'auteur a négligé dans ces formules la composante de la pesanteur,
* CoLLiGsoîi. p. 620.
BALISTIQLK. 11, l6
Fig. 1 1 1
Le problème à résoudre est exactement celui qui a été traité au n^ i5o sous le nom de cas général. Soit Oj la verticale du point de départ 0. Prenons pour axe des z l'intersection du plan horizontal en avec le plan du boomerang à l'origine. Le plan vertical jOx est coupé par le plan du boomerang suivant la droite OY, ligne de plus grande pente de ce plan.
La vitesse initiale Vq, qui est dirigée d'une manière quelconque se décompose en une vitesse YJ située dans le plan YOZ et une vitesse Yi', suivant OX.
1° Dans le plan YOZ, le mouvement du boomerang sera celui d'une solide qui glisserait sur ce plan en étant soumis à la résistance de l'air tangentielle et à la composante de la pesanteur qui est (/ sin cp, <p étant l'angle du plan YOZ et du plan horizontal. La vitesse initiale est Y^ et l'angle de projection a. Gomme le boomerang se présente par sa tranche, la résistance de l'air sera très petite et négligeable en première approximation.
Donc, la projection de la trajectoire sur4t plan YOZ est une parabole ayant son axe parallèle à OY e( d'équation.
Y = ztga— -^TTi
sm o
cos^a
•2® Pendant ce temps, le mouvement sur l'axe X est celui d'un boomerang lancé verticalement de bas en haut avec une vitesse Yi' et présentant sa face large à l'air ; il est soumis à la résistance de l'air sur cette face et à la composante ^ cos cp de la pesanteur. Il atteint un point culminant et retombe ensuite du côté des X négatifs, mais avec une vitesse qui devient bien vite constante et égale à la vitesse terminale, à cause de la grandeur de la surface en prise avec l'air.
3*^ De ces deux mouvements, résulte une trajectoire à
PROJECTILES SPHERIQLES ET DISCOÏDES 279
double courbure, d'apparence vafiée, suivant les conditions initiales du mouvement qui mettent en jeu trois données arbitraires le plan YOZ, Yangle de projection du boomerang, la vitesse de projection. Ainsi, comme cas particulier, l'instrument pourra monter en ligne droite suivant la ligne de plus grande pente OY,, puis redescendre suivant la même ligne, de même qu'un corps pesant lancé de bas en haut monte et redescend suivant la verticale.
4® Le chavirement de Tinstrument se produira quand, par suite de la diminution de la vitesse de rotation due à l'action permanente d'un couple produit dans le plan moyen par la résistance de l'air sur la branche du boomerang, la stabilité autour de l'axe naturel ne sera plus assurée. La loi de la chute sera alors tout autre que dans le cas simple qui vient d'être traité.
On ODtient les mêmes effets que ceux du boomerang en lançant des disques plats, ou des ardoises très minces auxquels on communique au départ un rapide mouvement de rotation autour d'un axe perpendiculaire à leur face plane.
i53. Sur la solution du problème balistique
principal. — La solution si simple du problème balistique principal qu'on obtient dans le cas des projectiles cylindriques tournant autour de leur axe de figure 149, et qui tient à la possibilité de rendre indépendants l'un de l'autre, deux mouvements perpendiculaires du projectile, a été appliquée par plusieurs auteurs, au cas du mouvement d'un point matériel.
Voici ce que dit de Saint-Robert ^ de cette solution erronée.
(( Lorsque le mouvement a lieu dans le vide, ou dans un milieu qui résiste en raison de la simple vitesse, le mouvement du projectile peut se décomposer en deux autres mouvements, selon deux axes quelconques, qui s'effectuent indépendamment l'un de l'autre, comme s'ils avaient lieu
' De Saist-Rodert, t. II, p. '291.
28o LE PROJECTILE
run après Tautre. Mais cette décomposition n'est plus possible lorsque la résistance est exprimée par toute autre l'onction de la vitesse : parce que les composantes de la résistance suivant deux axes coordonnés ne sont proportionnelles aux composantes de la >itesse suivant les mêmes axes que dans le cas de la résistance en raison de la première puissance de la vitesse ^ Pour n'avoir pas tenu compte de cette circonstance, plus d'un auteur qui a écrit sur la Balistique est tombé dans l'erreur, et c'est en cela précisément que pèche la théorie balistique de Lombard, de Hutton, de Scheer de Lionastre, etc. »
* On n'a cosT F (y) = FiucosT) t . r», ^
r^ \ i^ • \ à que SI r [v] = V.
et sinT F(v) = F(i>smT) ^ ^ ^'
