CHAPITRE IX
I I . — Résistance oblique
i54. Mode d'action de l'air. — Quand uu corps solide se déplace dans l'air, la résistance qu'il éprouve est l'ensemble des actions du milieii qui agissent sur la surface et modifient à chaque instant le mouvement du solide soumis, d'autre part, à la pesanteur appliquée à son centre de gravité.
Soit un solide de révolution^ de forme analogue à celle des projectiles oblongs de l'artillerie actuelle : considérons ce corps en mouvement à un instant de son trajet dans l'air. G est le centre de gravité et Gï est la tangente à la trajectoire de ce point, c'est-à-dire GT est la direction, à l'instant actuel, de la vitesse de translation du corps. Si, au même instant, la direction GA de l'axe de révolution du solide ne coïncide pas avec la direction GT de la tangente, la résistance est dite oblique. Elle est tangentielle quand G\ et (îT coïncident et c'est dans cette hypothèse qu'a été traité le problème balislique principal.
En raison delà svmétrie du solide de révolution, les actions du milieu sont symétriques deux à deux par rapport au plan méridien du projectile qui contient k
Fig. 112,
tangente GT et l'axe GA. Par suite,, ces actions ont une résultante unique R située dans le plan ipéri-
j. dien G AT, dit plan de la résistance. Le point G où la résultante H rencontre Taxe de ligure est appelé centre de résistance.
Appliquons au centre de gravité G deux forces opposées R' et R" égales et parallèles à R ; on peut grouper les trois forces R, R' et R' de la manière suivante :
i^ \,di force R" qui, appliquée au contre de gravité, modifiera le mouvement de celui-ci.
i'^ Le couple RR' qui tend à faire tourner le projectile autour d'un axe perpendiculaire au plan de la résistance.
La direction de la force R" ne conïcidera pas, en général, avec la direction delà tangente GT. On décomposera alors cette force R^' en deux autres situées dans le plan de la résistance, savoir GT' dirigée suivant la tangente et G\ dirigée suivant la perpendiculaire a la tangente.
En résumé Taction de la résistance oblique R, appliquée en C, équivaudra à l'action
i'' D'une force retardatrice GT' dirigée suivant la tangente à la trajectoire, eh sens inverse du mouvement;
2*' D'une force déviatrice GN dirigée perpendieulairement à la tangente GT et située dans le plan de la résistance GAT ;
ii83
3° D'un couple perturbateur RR^ situé dans le plan de la résistance.
Si le centre de résistance C est en avant du centre de gravité G, la pointe du projectile, par l'effet du couple, tendra à s'éloigner de la tangente ; elle tendra à s'en rapprocher si C agit en arrière de G. Ce dernier cas correspond au mouvement de la flèche dont les pennes placées à l'arrière (tandis que le centre de gravité est voisin de la pointe), présentent à lair un plan résistant qui agit toujours pour coucher la flèche sur la tangente à la trajectoire. On rapprocherait encore le centre de résistance du centre de gravité avec les projectiles oblongs lancés par des canons rayés en pratiquant sur le culot des cannelures sur lesquelles agit la résistance oblique de l'air.
103. Action de la résistance sur un projectile tournant- — IjCs propriétés de la résistance et la décomposition des forces indiquées ci-dessus sont générales et s'appliquent au cas d'un mouvement quelconque d'un corps de révolution. Elles sont vraies, en particulier, si le projectile est animé d'un mouvement rapide de rotation autour de son axe de figure. Si au moment où le projectile oblong quitte la bouche de la pièce, la tangente à la trajectoire du centre de gravité coïncide avec l'axe de figure, la résistance de l'air, à l'instant initial, a la même direction que ces deux lignes. Mais la tangente s'abaisse d'une- façon continue sous l'influence de la pesanteur et se sépare bientôt de l'axe de figure qui tend à rester parallèle à lui-même à cause du mouvement de rotation. La résistance deviendra donc immédiatement oblique.
i84 LE PROJECTILE
Une seule des propositions énoncées au numéro précédent pourrait être mise en doute : c'est celle relative à la symétrie des actions de Tair par rapport au plan méridien du projectile qui contient Taxe et la direction de la tangente. L'expérience montre, ainsi qu'on Ta vu (14^), qu^i lorsqu'un projectile tourne, la pression de Tair est moindre du côté où Tair se meut dans le même sens que la surface du projectile.
Mais, avec les projectiles oblongs actuels qui sont bien syniétriques et qui se meuvent à très peu près dans la direction de leur axe, la rotation du projectile est sîmsiblement normale à la direction du mouvement. Donc, le pliénomènc de Magnus n'intervient pas, dans le cas de ces projectiles, et la symétrie des actions de l'air doit être admise comme réalisée en pratique.
i56. Calcul de la résistance oblique — On
trouve, dans la plupart des traités de Balistique, le calcul, pour un projectile de forme donnée, des composantes normales et tangentielles de la résistance ainsi que celui du couple perturbateur du mouvement.
Ces calculs qui sont basés, ainsi qu'on le verra^au paragraphe suivant, sur certaines hypothèses, plus ou moins justifiées, relatives à l'action de l'air sur les surfaces courbes et aux lois de la résistance sur un élément plan, ne peuvent guère donner que des indications qualitatives sur les quantités cherchées.
Mais, fort heureusement, le problème mécanique peut se traiter d'une manière générale, sans rien connaître des résultats numériques de ces calculs, à condition que la théorie et la pratique se tiennent exactement dans les mêmes limites, c'est-à-dire qu'elles supposent toutes
DÉRIVATIO:* DES PUOJECTILES OBLONGS 285
deux que l'angle de la tangente à la trajectoire et de l'axe du projectile reste toujours très petit. On doit rejeter en effet comme défectueux et impropre au service de r artillerie^ tout projectile qui ne chemine pas dans l'air la pointe très sensiblement en avant.
C'est le problème ainsi restreint dit de la dérivation des projectiles oblongs que nous allons aborder maintenant.
157. Expression des forces. — Soit, dans le plan AGT de la résistance, GT la tangente à la trajectoire du centre de gravité G, G A l'axe de figure du projectile : ces deux droites font, en- a tre elles, un angle o qui est sup- , -^ ^^ ^ -,■ posé très petit pendant toute la ^^^^^^J^22^—z^ durée du mouvement. r'X
G est le centre de résistance où ^. ,
est appliquée la résistance oblique
R. Transportée en G, elle se décompose en deux : iVV est la résistance tangentielle^ GN est \di force déviatrice. Enfin 'R', GC, R) est \e couple perturbateur.
Soit 0^ l'angle de R avec l'axe GA du projectile ; l'angle 5^ est une fonction de o qui s'annule avec ce dernier angle et change de signe avec lui. Si on pose donc 0, = 'f (^)^ It^ dévefoppement par la série de Ta}lor donnera :
5j = /vo + k// -\ —
Ce qui, pour les petites valeurs de o, conduit à poser simplement :
Dans le triangle R^'GT', on a :
GN = GT [g (o, — 5)
ou bien, vu la petitesse de ô^ et o et la valeur de o^ :
GN==GT'(/c— i)ô
Pour des petites valeurs de o, la force déviatvice GN sera donc, par hypothèse, très petite relativement à la résistance tangentielle GP. Aussi, pour l'étude du mouvement du centre de gravité G, on pourra faire abstraction de la force déviatrice qui tend à faire sortir le centre de gravité du plan de projection, en première approximation tout au moins, et considérer par suite le cas du mouvement, dans le plan de projection, d'un simple point matériel dans un milieu qui lui oppose une résistance tangentielle. Telle est, comme on sait, l'hypothèse qui est à la base du problème balistique principal .
De plus, à cause encore de la petitesse de S, la résistance oblique R^' est extrêmement voisine de la résistance tangentielle, dans l'hypothèse o = o, et en diffère par un terme de l'ordre de r/. On doit donc, aussi bien dans le mouvement principal que dans l'étude des effets de la force déviatrice, remplacer la résistance R'' par //7cF(i') m est la masse du projectile et c'F(i') l'accélération due à la résistance). D'ailleurs on pourra tenir compte dans R'^, en seconde approximation, delà valeur de 0, soit expérimentalement, soit même par un calcul théorique (196).
On aura, par suite :
UÉRIVATION DES PROJECTILES OBLO>'GS 287
Accélération de la résistance tangentielle :
GT = cF[v]
Accélération de IdL force déviatrice ro :
GN = 'f = c(Â:— i)SF(v)
Soit, maintenant, / la distance du centre de gravité G au centre C de résistance : le moment dîS du couple perturbateur aura pour expression
5/5 == m sin S^ = /Ro,.
En remplaçant R et 8^ par leurs valeurs, il viendra :
gr6=^mlkcZY{y)
La première formule traduit riiypothèse fondamentale qui est à la base du problème balistique principal. Les deux autres vont permettre Tétude du problème secondaire de la dérivation,
§ 2. — Calcil de la résistance
i58. Problème traité. — Nous voulons obtenir, pour le cas de S très petit, une évaluation des quantités /c et / qui figurent dans les formules du numéro précédent. Nous laissons ainsi systématiquement de côté le problème général de l'action de l'air sur un projectile qui se présente avec une obliquité un peu notable. Les hypothèses nécessaires pour traiter le problème sont, en effet, trop incertaines, ou pour mieux dire trop certainement inexactes pour qu'on puisse en espérer quelque résultat un peu précis au point de vue numé-
rique. Nous bornerons notre recherche au cas où Tinclinaison 8 est très faible et tend vers zéro.
L'hypothèse nécessaire est la suivante : Vaclion de Vair sur un élément de surface est supposée normale à cette surface ; elle ne dépend que de la composante normale de la vitesse relative de Vair,
Ainsi, on ne tient pas compte de la position de chaque élément par rapport au contour de la surface ; pourtant, il est bien évident que, suivant que l'élément de surface, avec la même inclinaison, se trouve au milieu ou sur les bords de la surface, il doit exister des différences d'action de l'air ; ce fluide, en effet, ne s'écoule pas delà même façon et par suite donne naissance à une réaction normale différente en ces deux points.
i5c). Principe du calcul. — Ces restrictions faites, soient c/^ un élément de surface, v-^ la vitesse normale de l'élément, rfR la résistance élémentaire normale à la surface dz. On aura :
(/R = Y{y:^) dz.
Le problème ne pourra se traduire en formules que si on admet que la fonction F(v) est de la forme BnV".
On aura donc, avec cette hypothèse suffisante pour l'objet de l'étude actuelle :
rfR = J^^vl dz.
Pour calculer la résistance totale R qui correspond à une position de l'axe XX' du projectile, faisant avec la direction du mouvement TP un angle 8, on suppose le projectile fixe et l'air animé d'une vitesse v suivant T'T.
On décompose alors la surface du projectile en un certain nombre de zones séparées par des plans perpendiculaires à Taxe de révolution. Chaque zone sera assimilée à la ! surface extérieure d'un tronc de cône ou d'un cylindre. j
Soit un de ces troncs de cône élémentaire représenté sur la ligure 1 1 4 ; on le décompose à son tour en petits tra- •
pèzes compris entre deux génératrices. Comme on suppose
Fig.
que la résistance dépend seulement de la composante de V normale aux génératrices, la résultante totale sur un trapèze passera par son centre de gravité. Tous ces centres de gravité sont situés sur le cercle mm' parallèle aux bases.
Les résistances, sur chacun des trapèzes, étant normales aux génératrices du tronc de cône, formeront donc un cône circulaire droit ayant le point G pour sommet et pour base le cercle mm'.
Le point G est le centre de résistance pour le tronc de cône élémentaire considéré.
Toutes les résistances élémentaires sur le contour du tronc de cône auront une résultante R, située dans le plan de la figure et comprise entre la direction de Cm (incunaison maximum par rapport à 8) et Taxe XX' (qui est la limite de cette résultante pour ô = 0).
L'angle XGR est Tangle ô^ considéré au paragraphe précédent (157).
Si maintenant on prend un projectile de forme ogivale (ou, d'une façon générale, un solide de révolution), on
pourra partager la courbe généra-
-^^^^ ^^ tri ce en parties, trois par exemple,
et les zones tronconiques correspondantes donneront les composantes élémentaires (pi, çp2, 93 de la résistance. On prendra la résultante R, qui fera un angle 8^ avec Taxe et passera au centre de résistance G de l'ensemble du solide.
On passera ensuite à la limite 8 = o, si on veut obtenir les valeurs de / et de k.
Fig.
iGo. Calcul de la résistance oblique sur un
tronc de cône. — i° Prenons, pour origine, le point G, centre de résistance du tronc de cône et pour plan vGa: celui qui contient l'axe du tronc de cône et la direction GV de la vitesse du projectile, inclinée de l'angle 8.
DALISTIQUE.
Considérons la résistance le long de la génératrice définie par l'angle \ que lait son plan méridien avec Cj ; la normale GN à cette génératrice Tait avec OV un angle s. Soit d'ailleurs y le demi-angle au sommet du cône.
On aura, puisque v cos e est la projection de la vitesse de CV sur CN :
JR = I3,^u" cos^ £ c/a.
Fig. iiG,
Si L est la longueur de Taréte PP' du tronc de cône, le rayon moyen (mn) du tronc de cône, on a
(/(3 r=r pL (/;.
•1^ On aura donc, comme projection cfX de c?R sur Taxe des X :
iW. = B pLv" cos*^ e sin yc/$.
Si on considère maintenant le triangle sphérique qui correspond au trièdre (C,XVX), on aura :
cos £ := sin Y cos 8 + cos y sin ô cos \.
On trouve :
X = BnpLy'* / (sin y cos 6 -|- cos y sin 3 cos çj^ sin y</ï
On fait porter ainsi l'intégration de o à 27:, c'est-à-dire tout le long de la circonférence moyenne du tronc de cône. On suppose, par suite, que la demi-ouverture y du sommet du cône est plus grande que l'angle ô. D'une façon générale, la ligne qui sépare les portions soumises à l'influence de la résistance de l'air de celles qui sont protégées est définie
par la formule qui donne z = — , c'est-à-dire
sm Y cos ô -j- cos y sin ô cos j; = o ;
d OU cos ^ = -r~:
tgS
équation qui n'a aucune racine réelle lorsque y > 8.
3^ Ceci posé, Texpression de la composante X montre, dans la parenthèse sous le signe J", que le second terme qui contient le facteur sin 8 s'annule à la limite ; on ne devra donc considérer que le premier et l'intégration donnera, en appelant S = 'iTzoL la surface extérieure du tronc de cône :
X = BnSv^ sin^+iy cos"8
où on devra encore remplacer cos 8 par l'unité puisqu'on a déjà négligé sin 8 dans la parenthèse sous le signe J*; on a ainsi :
# X = BnSi;^ sin»-*-V,
ou bien, en désignant par P la projection de la surface S sur le plan de l'équateur (yCz) du projectile et remarquant que P = S sin Y, on obtient la formule
X = PBnV° sin°Y
4° Soit cj Tanglc de GN et de Gj : dans le trièdre rectangle (G,Na*j) on a :
« cos ?' = cos Y cos ï.
La composante suivant l'axe Gj sera donc :
Y = BapLv'* I (sin y cos 8 + cos y sin 8 cos $)° cos y cos yS
Supposons qu'on développe la parenthèse par la formule du binôme, on aura :
(sin y cos 8 + cos y sin 8 cos ? )"
== sin^ y cos^ 8 -|- 'i sin"~^' cos'^~'8 cos y sin 8 cos Ç -| —
les autres termes contenant 8 à des puissances supérieures à la première.
mis-
Mais, rintégralc du premier terme
Jsin""*^^' cos"8 cos ^d\
est identiquement nulle, à cause des limites o et 1 tz. On aura donc, en ne conservant qu'un terme en 8 :
Y = BnpLv™ / n sin'^"* y cos^ y cos'^"^ 5 sin 8 cos^ 14^.
Mais, remarquant que
rfî COS" E
cos- yj = — ^ H ; — dll,
on aura :
Y ::= -^ BjiSu" sin"~' y cos- Y cos""^ 5 sin 8
On devra faire ici encore cos 8 = i , de sorte qu'il viendra
Y = — BnSy'^ sin"~* y cos* y sin 8
ou, en introduisant la projection P = S sin v,
Y = — PB„v" sin'^~-Y cos- Y sin 8
5^ On partagera ainsi Togive en un certain nombre fle troncs de cône pour lesquels on calculera les composantes X et Y par les formules
r X .= (B,,y") Psin'^Y
— Bn i'" 1 P sni"~- Y cos - Y sin 8
Fig. II
G° Le centre de résistance sera déterminé par la composition des composantes Y ; il correspond au point d'application de cette résultante.
7° On obtiendra ensuite tg 8^ en prenant le rapport -tty* •
DÉRIVATION DES PROJECTILES 0BL0:NGS l^Z
i6i. Application à un cône. — Soit a Je diamètre à la base du cône :
1° On aura
et par suite
BnV" sin" Y
et
— — BqI;" siii""^/ cos- Y sin 5.
•2** h étant la hauteur du cône, le centre de résistance sera
à une distance r~ de la pointe du cône ou — : — ; — .
•2 cos- Y ^ tisin-v
3^ On aura d'où
/C=:--C0tg-V
i(>2. Résistance sur le corps cylindrique. — Sur
le corps cylindrique du projectile, les composantes X et \ de la résistance s'obtiendront par les mêmes formules di fie rentielles que précédemment, où on fora sin v = o. On aura d'abord X = o, ce qui était évident, puisqu'on ne considère que la composante normale de la vitesse de translation. La composante" Ij a pour expression, en faisant Y = o dans Tintéfj^rale du n° iGo :
Y, = B„pLy" SÎ.1" Ô f ' cos»+'yï Mais ici, les limites de rinté2:rale sont — — et + — ,
c'est à-dire un angle égal à t:, l'action de l'air ne se faisant sentir que sur un demi-cylindre.
On sait trouver rinto^rale définie du second membre ; mais on voit, sans intégrer, que Y^ sera de l'ordre de h^ sur la surface cylindrique, c'est-à-dire infiniment petit du (n — i) ordre relativement à la même composante Y sur la surface du cône qui renferme sin 8 en facteur. Excepté donc dans le cas où n serait égal à l'unité, on pourra négliger la résistance sur le corps cylindrique du projectile devant la résistance de l'ogive.
Lue seconde exception aurait lieu si l'angle y était de l'ordre de grandeur de ô, à cause de la présence du facteur sin" ~" * Y dans la composante de la résistance sur le
cône
Y = — BnSi»'^ sin"~' cos- 7 sin 8
où S est de grandeur comparable à pL.
Soient C le centre de résistance de la partie conique,
et C le centre de résistance de la partie cylindrique.
Le point X de résistance totale sera tel que
tis. 118. Ll.z=: —
;^=-^ = Qsin"-'8
Le point y sera donc (dans le cas où /i>i), très près du point C, à une distance de l'ordre de (n — 1) 8 près.
iG3. Hésumé. — 1° On s'est borné au seul cas que la tbéorie puis.se espérer traiter avec quelque chance d'être en concordance avec les lois phvsiques des phénomènes et qui d'ailleurs correspond au seul emploi normal des projectiles oblongs pour l'artillerie, c'est-à-dire au cas où l'angle 8 de l'axe et de la tangente est très petit. Moyennant une hypothèse simple relative à l'action de l'air (la composante normale de la vitesse en un point agit seule et a un eflet constant (juelle que soit la position du point sur la surface), on peut trouver les composantes de la résistance sur une surface de révolution quelconque et le point de l'axe où elle est appliquée (centre de résistance).
DERIVATIO:X DES PROJECTILES OBLO?«GS 295 ,
i"^ Comme on ne peut pas, par une théorie physique aussi sommaire, espérer autre chose qu'une valeur approximative des quantités cherchées, on pourra, pour Tapplication aux projectiles de l'artillerie, substituer à la surface ogivale un cône moyen dont le ij-i angle '^ sera la moyenne arithmétiquedu i/ 2 angle ogival y (tangent à la pointe) et du 1/2 angle^ *du cône inscrit dans l'ogive. On prendra donc
On suppose, pour les calculs, le cas d'une résistance ^aV^. 3*^ Le centre de résistance est au point C, à une distance .7*
'1 COS- ^ 1 ^ ly^ 1
de la pointe du projectile. On [ ^ !------*!
peut encore écrire ^ î, **
•2 sin 1^
\^ 8 étant l'angle de la tangente GT avec l'axe G.\ du projectile, Tanglc 8 est supposé très petit.
iS^ Dans ces conditions, le point G reste fixe quand 8 varie.
6** La résultante des actions de l'air qui passe en G fait avec Taxe du projectile un angle Ô^ tel que
ô, = — ô cote:- u
7'^ La valeur du coefficient /tdu paragraphe précédent, est donc :
/t = -^ = — cotg- s
8*^ La longueur/, qui figure dans les formules, est égale à
• Erratum à la figure [ ly. Au lieu de l'anglo y, lire ^.
la longueur L, distance du centre de gravité à la pointe, moins la longueur SC. On a donc :
cos C
•1 sin 'iL,
. 1G4. Résistances tangentielle et normale. — Les
composantes X et Y obtenues au n° 160. 4^ sont dirigées suivant l'axe du projectile et suivant la perpendiculaire à cet axe. Dans le paragraphe précédent, (i^^) on a fait la décomposition, suivant la tangente et la perpendiculaire à cette droite, des forces transportées au centre de gravité, l'une étant IdL résistance tangentielle, l'autre \a force déviatrice.
On aura, en projetant sur les directions GT et GN
Fig. 120.
BnV^ sin^ l
-^ BnV"5 sin"^ — cotg- ^ — I
On voit que la composante normale N s'annule pour
n = — et change de signe après cette valeur. Le tableau
suivant donne, pour différentes valeurs de n, la valeur de l'angle Ç qui annule N.
Les deux valeurs de T et de N trouvées ci- dessus sont, dans le cas général du n° 1^7, égales respectivement à eY{v) pour la résistance tangentielle et à c{k —1)8 F(î;) pour la force déviatrice.
i65. Exercices. — i° Traiter le cas général de V action de Vair agissant obliquement sur une surface de révolution quelconque dans le cas de Ô quelconque.
•2^ En déduire, pour 8 = 0, la résistance de l'air sur une surface de révolution.
§ 3. — Précession
166. Vitesse angulaire derotationb du projectile. — Nous allons* chercher à appliquer au cas du solide complètement libï*e qu'est le projectile, la même méthode que celle que nous avons employée pour le problème de la toupie (i33).
La vitesse angulaire de rotation du projectile, qui lui est communiquée par les rayures, sera égale à b.
Donnofis, tout d'abord, l'expression de b en fonction des conditions initiales du tir qui sont la vitesse ////tiale V^ du projectile, VincUnaison finale des rayures de la bouche à feu, et le calibre a de la ,
pièce.
On a, entre a, et le pas des rayures /i, la relation
qui exprime que l'hélice de pas p et d'inclinaison est inscrite sur le cylindre de diamètre a.
Si, maintenant, Vq est la vitesse initiale, le projectile parcourt dans une seconde \ ^ mètres et fait un nombre de tours égal au quotient deY^ par h. Comme, d'autre part, un point situé à l'unité de distance décrit a chaque tour la circonférence 2-, le nombre de tours
[)arcounis avec la vitesse angulaire b sera égal à
On a donc :
et, en remplaçant h par sa valeur, il viendra :
b = ^-^tge.
a Le nombre ^ de tours à la seconde est :
\=--^tge-.
Avec les canons actuels où est voisin de 5°, la vitesse angulaire b est de Tordre de grandeur de la vitesse des projectiles.
Ainsi, pour
Vo = 5oc)'», n = 0^", 10, e = 5°, on a
b = 87V" et ^ = i.\o tours à la seconde.
Pour
on a
b = >77"^ et N 1:= iyi tours à la seconde.
La vitesse circonférentielle d'un point de la surface du projectile est ha c'est-à-dire 87"\j par seconde dans le premier cas et 17'^™,! dans le second .
On suppose, dans toute la théorie de la dérivation, que la vitesse de rotation b du projectile se maintient constante : cela revient à admettre cpie le frottement de l'air sur la surface du projectile est négligeable. . j
Avant qu'avec Martin de Brettes, Mayewski, etc., les arlillcurs aient reconnu, dans le phénomène de la dérivation des projectiles oblongs, une conséquence de la théorie de la rotation des corps, une explication avait été présentée par le capitaine Tainisier et fut même adoptée par le général Didion * dans son traité de Balistique ; elle attribue la dérivation à un phénomène analogue à celui dit de Magnus (i^'±) relatif à l'augmentation de pression du côté où tourne le projectile.
Alais, ni l'une ni l'autre de ces explications (frottement ou effet de Magnus) ne résiste à l'examen : si on admet comme cause l'action du frottement, un calcul simple, fait par de Saint-Robert ^, montre que la force qu'il faudrait supposer pour expliquer la grandeur des dérivations observées est trop considérable pour pouvoir être produite par le frottement du projectile sur l'air et que, d'autre part, la •vitesse de rotation de l'obus serait bientôt annulée.
Quant à l'action du phénomène de Magnus, elle ne peut avoir quelque effet que pour le cas de projectiles très peu stables, car, dans le cas où la coïncidence de l'axe et de la tangente est presque rigoureuse, la rotation perpendiculaire à la direction de la translation n'engendre point du tout le phénomène constaté par Magnus.
167. Décomposition du problème général du mouvement des projectiles oblongs. — Nous supposons connu le mouvement principal du projectile qui n'est pas, ainsi qu'il a été explique (i37), influencé sensiblement par l'obliquité de la résistance ; dans le présent paragraphe nous n'utiliserons même que les équations différentielles de ce mouvement principal et en particulier la relation entre dt et c/t, (3) savoir :
dt= —
* DlDION, p. ^'2'À.
- De Saint-Robert, t. I, p. 24(3.
g cosT
Nous avons vu que, dans l'hypothèse de la stabilité du projectile oblong éur sa trajectoire, assurée par la petitesse constante de l'écart S de l'axe et de la tangente, le problème pouvait être partagé en trois questions distinctes :
i^ L'étude de la projection verticale de la trajectoire qui, à cause de la petitesse de l'angle o, peut être faite indépendamment du mouvement de rotation (problème balistique principal.)
2" L'étude du mouvement de laxe autour de la tangente sous l'action du couple dont le moment est (iSy).
gib= mlkcù¥{v).
Il arrive, dans certaines questions, par exemple en Mécanique céleste, quand on traite de la théorie de la procession des équinoxes^ que le mouvement autour de l'axe est complètement indépendant du mouvement principal du centre de gravité, ces deux mouvements étant dus à des forces totalement distinctes. 11 n'en est pas de même dans le cas du mouvement de rotation du projectile autour de la tangente qui dépend du mouvement de translation, puisque la vitesse v entre dans l'expression du moment 9T6.
Le mouvement de translation est supposé connu par la solution du problème balistique principal.
3° L'étude de l'action de la force déviatrice qui fait sortir légèrement le centre de gravité du projectile du plan de projection. Ce problème dépend de la solution des deux autres.
Pour étudier le mouvement du projectile autour de son
DÉRIVATION DES PROJECTILES OBLONGS • 3oi
centre de gravité G, ce point est considéré comme fixe.
La tangente Gï à la trajectoire possède un mouvement angulaire connu par hypothèse (problème balistique principal) . La droite GA représente l'axe de révolution du projectile ; c'qst cette droite dont nous étudierons les déplacements-
Le moment d'inertie du projectile autour de Taxe do révolution du projectile est G ; autour d'un autre ax(* équatorial, passant par le centre de gravité, le moment d'inertie est B.
i68. Théorème. — La vitesse de rotation b autour de Faxe de révolution est constante.
Cela résulte de ce que les forces extérieures se réduisent, d'une part à la force dévia trice qui passe au cenlro de gravité et, d'autre part au couple perturbateur qui rencontre Taxe de révolution puisqu'il est constamment situé dans le plan de la résistance GAT.
La troisième équation d'Euler (122)
