C-J=(\-B)pî + N

a donc son second membre nul ; par suite r, et ici b, est une constante.

169. Hypothèses. — Nous supposons qu'à la sortie de la pièce, la rotation du projectile se fait sensiblement autour de l'axe de figure et que l'écart entre cet axe et la tangente est très' petit. Ce ne sont, en eflet, que des causes perturbatrices accidentelles qui peuvent produire une rotation parasite et elles sont d'un ordre de grandeur négligeable devant les forces considérables

3o2 LE PROJECTILE

mises en jeu pour assurer la très rapide rotation du projectile autour de Taxe de révolution sous Tinfluence du forcement des ceintures dans les rayures.

L'axe instantané de rotation GI du projectile sera ainsi, à Torigine tout au moins,, très voisin de Taxe de ligure G A et pourra, en première approximation, être confondu avec lui.

'ig. l'i'i. Fig. 123.

Il en sera de même de Taxe du couple acquis GM. On sait, en effet, que ces trois axes sont dans un même j

plan ( 1 26) et qu'on a : J

tg£ G

tg e' B

G et B étant deux moments d'inertie d'ordre de grandeur comparable, s et t' seront deux angles infiniment petits au même titre.

Ainsi donc, à l'origine du mouvement tout au moins, c'est-à-dire à la sortie de la bouche de la pièce, nous admettons que les trois axes — de révolution GA — instantané de rotation GI — du couple acquis GM, peuvent être considérés comme en coïncidence.

Dans la suite du mouvement, il s'agira d'établir qu'aucune vitesse autour d'un autre axe, provenant du fait du couple perturbateur, n'acquiert une grandeur suffisante pour que, se composant avec la rotation initiale b, l'axe instantané GI s'écarte de l'axe de figure GA.

DÉRIVATION DES PROJECTILES OBLO?«GS 3o3

Comme le couple perturbateur renferme la variable o, une des conditions de la continuité de l'exactitude do Thypothèse sera la petitesse de Técart o entre Taxe et la tangente.

Notre hypothèse revient donc à dire que 5 est supposé un angle très petit pendant tout le trajet du projectile dans Tair.

170. Division du problème du mouvement de la tangente. — Ce qui vient d'être dit permet donc de décomposer le problème de la recherche du mouvement de Taxe du projectile autour de son centre de gravité en deux autres, constituant deux approximations successives.

Le premier problème dit de la précession supposera la coïncidence de Taxe de figure et de Taxe du couple acquis.

Le second problème dit de la niitation étudiera le mouvement relatif de ces deux axes.

On arrive ainsi à la même décomposition que dans le cas de la toupie (i35).

171. Sphère auxiliaire. — Si le couple perturbateur n'existait pas, une parallèle à la tangente à la trajectoire menée par le centre de gravité G du projectile décrirait un plan vertical et, dans ce plan, la loi d'abaissement de la tangente serait définie par Téqualion différentielle (167).

dt =

g cosT

Soit une sphère de rayon égal à l'unité, ayant le point G pour centre. Les parallèles aux tangentes, telles

que GT, coupent cette sphère suivant le grand cercle vertical ZTZ^ Pour la trajectoire complète, la région de ce grand cercle balayée par les tangentes va du point Q correspondant à f = oo et à la limite 6 de la branche ascendante de la trajectoire ^ an sommet S (t = o) ; puis, sur la branche descendante, elle s'étend

de S au point z' d'inclinaison t = et de/ vitesse

terminale u^

Le plan ZTZ' est le plan de la figure.

Menons, à chaque instant, par le point G, une parallèle GM à Taxe du projectile, confondu avec Taxe du couple acquis.

Le lieu des points M sera, sur la sphère une certaine courbe que nous nous proposons de déterminer. Si le couple perturbateur n'existait pas, l'axe de rotation du projectile tournant resterait fixe dans l'espace à la position initiale M,, tandis que la tangente T s'éloignerait progressivement de Mq, en descen-

dant vers t = — —, C'est le couple *perturbateur qui

force le point M à suivre, dans une certaine mesure, la descente du point T.

Rappelons que le moment du couple perturbateur a pour expression :

gîà = mlkoc¥(y) formule oii 7 représente la distance du centre de résis-

ig. i'j4

* Ch. 6, p. 1 17.

DÉRIVATION DES PROJECTILES OBLONGS 3o5

tance au centre de gravité ; k un coefficient de Tordre de grandeur de Tunité ; o Tangle formé parla tangente et par Taxe du projectile ; cF\y) Taccélération de la résistance de Tair ; m la masse du projectile.

Le couple perturbateur est situé dans le plan de la résistance et tend, pour le centre de résistance situé entre le centre de gravité et la pointe (/positif), à écarter Taxe de la tangente.

172. Vitesse de précession. — Considérons, comme confondus en M, ainsi qu'il a été expliqué, (169) les trois points qui sont les traces sur la sphère de Vaxe de figure^ de Vaxe instantané et de Vaxe du couple acquis.

M et T étant les positions simultanées (au même temps t) des traces do Taxe du couple acquis et de la tangente à la trajectoire. Tare de grand cercle MT est égal à ô (sur la sphère de pij

rayon i). Le couple accélérateur <97S est situé dans le [)lan de la résistance MGT ; son axe est par suite normal à ce plan.

Donc, l'extrémité M du couple acquis possédera une vitesse normale au plan du grand cercle MGT, puisque sa vitesse est toujours égale et parallèle à Taxe du couple accélérateur (124). Le point M se déplace donc perpendiculairement h Tare ÏM et parcourt un chemin élémentaire MM^ qu'on peut considérer comme un arc de petit cercle décrit du point T comme pôle.

L'axe du couple perturbateur étant perpendiculaire à

ig. 11.}.

3o6 LE PROJECTILE

Taxe du couple acquis, la grandeur de celui-ci n'est point modifiée dans le cours du mouvement ; le point M reste donc sur la sphère et le couple acquis a pour valeur constante Cb, C étant le moment d'inertie autour de Taxe du projectile, et b la vitesse de rotation.

On se trouve, dans le cas actuel, exactement comme dans le cas d'une toupie dont la pointe serait en G, la verticale dirigée suivant 01, Taxe de la toupie suivant GM (i36). Le couple accélérateur est, dans les deux cas, appliqué perpendiculairement au plan MGT. On aura donc, dans le cas du projectile, une vitesse angulaire bp à rinstant t qui sera donnée par le quotient de la vitesse absolue du point M (égale au couple accélérateur (9/5) par le rayon du cercle décrit, qui est égal à GM sin .

Mais GM, couple acquis, est égal à Cb et sin o vauto. On aura donc :

/?i//t:rF(r)

Nous poserons

bp = xcF(d) avec

"Cb

Le sens de cette vitesse bp ou le sens dans lequel il faut porter le segment MM^ est, comme dans la toupie, celui de la rotation du projectile pour un observateur couché sur Taxe, les pieds en G. Ainsi, la figure suppose le projectile tournant de droite à gauche.

Le sens de la rotation serait opposé si le centre de résistance était du côté du culot relativement au centre de graAÎté.

DÉRIVATION DES PROJECTILES OBLONGS So;

173. Théorèmes sur la précession — Théorème I. — La vitesse de précession ne dépend pas de V écart entre taxe et la tangente.

Théorème II. — La vitesse de précession bp varie en sens inverse de la vitesse de rotation b. — Si celle-ci. est très grande, la première est très petite. Si b était infini, bp serait nulle et Taxe du projectile restant fixé à sa position initiale n'accompagnerait pas la tangente dans son mouvement descendant.

Théorème III. — La distance ne peut rester constante. — Pour que Tangle reste constamment petit ou bien encore pour que la stabilité du projectile soit assurée, il faut qu'il y ait une certaine relation entre bp,

vitesse de précession, et -7- , vitesse de descente de la

tangente: si les deux quantités o^bp (avec o^ = const.) et

-T^ , pouvaient rester constamment égales, la distance 0^

entre T et M demeurerait constante, et la courbe décrite par le point M serait une parallèle au grand cercle lieu de T. 7

^ «T q COST

Comme -7- = — — , ceci ne pourrait avoir

lieu que si on avait

Oy X cb [v) = -

en tout point de la trajectoire.

Or cette relation est incompatible, en général, avec l'équation de l'hodographe (5)

d(v cos t} c „

a moins que,

(l(v cos t) cos t

En intégrant, on aurait :

u = Uy -}- -^ — (sin T — sin a)

Mais, la loi de résistance

cF(r) cosT

c'est-à-dire en raison inverse de la vitesse, est inadmissible en Balistique.

La distance 5 variera donc dans certaines limites qui seront déterminées plus loin.

» Théorème IV. — Variations de la vitesse de précession le long de la trajectoire/ — La vitesse bp de la précession,

mlkc F{v)

bp =

= xcF(i')

pour une vitesse de rotation b du projectile constante, commence par être infinie au point Q, pour v et F (y) infinis ; bp diminue ensuite, passe par un minimum au point (l'ni, Tui) de la branche descendante, en même temps que i\^ ; puis croît jusqu'à la valeur limite

mlk(j

atteinte au point , pour la vitesse terminale v' telle

que cF(u') = r/. Le coefficient balistique disparaît donc

de Texpression de bp, le projectile étant caractérisé alors par le coefficient /A:, au point de vue de sa forme et par le moment d'inertie C au point de vue de la répartition de la matière autour de l'axe de rotation.

Théorème V. — L'angle 'j» dont a tourné taxe du projectile autour de la tangente^ de l origine à F instant /, est donné par la formule

Jr^ du ] uo COS T

En effet, on a par définition de Tangle ^ :

Mais, l'équation de Thodographe :

div COS t) ci'F d-z ~~

et Téquation qui donne le temps

g COS donnent, par combinaison :

cYdl = ^

On a donc : dl = —

COS T

COST

et, en intégrant, on arrivera la formule énoncée.

Maintenant qu'on connaît à chaque instant la vitesse

bp = —T- tiont est anime 1 axe du projectile autour de

3lO LE PROJECTILE

la tangente il faut combiner le mouvement élémentaire (le précession, ainsi défini, a\ec le mouvement réel de la tangente dans son abaissement sur la trajectoire.

I 4» MoLVEME>'T COMBINÉ DE l\\XE

ET DE LA TA?îGE>TE

174- Théorie des roulettes. — Pour continuer l'étude géométrique du lieu du point M sur la sphère, commençons par donner quelques propriétés générales des courbes roulantes sur une autre courbe.

Cette méthode des roulettes^ introduite dans la théorie de la dérivation par M. de Sparre, donne à la solution une clarté et une élégance particulières ; elle permet de réunir, dans la discussion d'une seule courbe, les propriétés essentielles des deux mouvements simultanés d'abaissement de Taxe de la tangente et de précession de l'axe de rotation autour de cette tangente.

Elle donne également un moyen simple de tracer la courbe lieu du point M et d'arriver par une voie rapide aux calculs et applications numériques.

Considérons aux temps o, /j, /,... les positions successives des pcMes T^, Tj, T^. . . sur une droite et soit à l'instant o, M^ la position initiale d'un point M dans le plan. Le point M est animé autour des pôles T^, T^ Tg..., de certaines vitesses de rotation, de sorte que M^, vient en M^ (autour de T^) ; puis pendant Tintervalle t^ /^, M, vient en M^ (autour de TJ; puis M^ en M3 pendant l'intervalle t^ ^3 ^autour de T^) etc.

Or, on pourra produire identiquement le même mouvement du point AI^ de la manière suivante :

3ll

menons T^TJ = T^T, et prenons les deux angles i égaux ; puis T( Tg = T, Tg et les deux angles 2 égaux ; puisT2T3= TgTg..., etc.

Il est clair que lorsque la ligne brisée Tq T{ Tg T3. . . roulera sur la droite T^T, Tg... en pivotant autour des sommets successifs, la trajectoire du point M sera exactement la «même que dans le mode de génération précédent. A la limite, la ligne brisée deviendra une courbe dite roulette qui roulera sur une droite ou une autre courbe dite base de la roulette^ et le point M^ lié invariablement à la roulette décrira la courbe imposée. D'ailleurs, un autre point du plan lié invariablement à la roulette aura, autour des points successifs delà base, exactement la même rotation angulaire.

Si on considère le cas où la base de la roulette est

une courbe, en désignant par s Tangle de contingence de la roulette, par e' l'angle de contingence de la base de la roulette, la coïncidence des courbes aura lieu pour une rotation élémentaire (rfs — dt') .

On a d'ailleurs, en appelant p^ le rayon de courbure de la roulette et

Fig. 127.

o„ celui de la base

£?s = ds,

s'p^ = ds

avec le même ds puisque les courbes roulent l'une sur l'autre ; donc :

Mais, si on appelle w la vitesse instantanée de rotation qui amène les courbes à coïncider, la différence (e — e') est égale à tocf/, puisque c'est Tangle décrit dans le temps dt; ds d'autre part est égal à Srff, chemin parcouru par le point t sur la base de la roulette avec la vitesse linéaire 2r. Donc, on aura :

pour la relation entre les deux rayons de courbure ; et cette formule pourra s'exprimer par le théorème suivant : la courbure relative de la base et de la roulette est égale au rapport entre la vitesse angulaire du roulement o> et la vitesse linéaire 2r du point de contact.

C'est d'ailleurs la même formule que celle établie au n° 123.

175. La roulette de la précession. — Appliquons le mode de représentation qui vient d'être exposé à la recherche du lieu du point M sur la sphère. La propriété des roulettes s'applique exactement aux courbes tracées sur la sphère; mais comme, par hypothèse, nous supposons que le point M est toujours extrêmement voisin du grand cercle, lieu des T, nous pourrons remplacer ces deux lieux géométriques })ar leur perspective conique sur le cylindre circonscrit à la sphère le long du grand cercle des T. Nous supposerons ensuite, pour la représentation sur un plan, que ce cylindre a été coupé, puis développé ; les arcs de grand cercle deviendront alors des droites.

Comme le rayon de la base de la roulette psest infini,

DÉRIVATION DES PROJECTILES OBLONGS 3l3

la formule se réduira, pour le rayon p«y de la roulette à :i

Nous connaissons dans cette formule les deux vitesses du second membre ; to est, en effet, la vitesse angulaire (le précession,

bp = H cF(i')

et 2r est la vitesse linéaire de descente du point I ; on

dz g COS T

dt V

On aura donc, en désignant par Rp le rayon de courbure de la roulette de précession.

^ g COS T

^ T^cv F (y)

Pour étudier les propriétés de la roulette, nous forme-

dJ\

rons tout d'abord la dérivée —j-^ du rayon de courbure.

En observant que l'hodographe peut s'écrire :

dv V I cF

dz COST V fj

on trouve la formule :

4" sinTj ,

d'z HcyF

"sinT+^(^+sinT)(.F'+F)"