Propriétés de la roulette de précession
Théorème I. — La longueur totale de la roulette depuis
ta
3l4 LE PROJECTILE
le pointu^ où v = ao sur la branche ascendante ^ jusqu'au
point — est égale à ( + — | , étant I angle de
r asymptote de cette branche ascendante.
Cela résulte de la propriété même de la roulette, de venir coïncider successivement avec tous les points de la courbe, lieu des points des T, qui a exactement la même
amplitude S -\ .
Théorème II. — Pour v = ce, fe rayon de courbure Rp de la roulette est nul.
Car, dans Texpression
J7 COST
P~ Bc v¥ '
T prend la valeur S et v et F(i'; deviennent tous deux infinis.
Au même pomt, on a -7 — = o, car -j— se réduit a
HC t'F HC V
ce qui donne bien o, pour i; = ex.
Théorème III . — Le rayon de courbure Rp croît constamment sur la branche ascendante.
Car —7-^ est négatif pour t > o, et Tinclinaison t
décroît.
Théorème IV. — Le rayon de courbure R^ passe par un MAXIMUM en un point situé entre le sommet et le point de vitesse minimum de la trajectoire.
DÉRIVATION DES PROJECTILES OBLONGS 3l5
Car, au point de vitesse minimum, on a^ :
cF
-\- Sm T :=: O
et, comme sin t est négatif, Rp décroît, tandis qu'il croissait au sommet.
D'ailleurs, le point où le rayon de courbure de la roulette est maximum est défini par l'équation.
vY'\ . cF / , vW
Pour F(î)) = Bnt>'^ on a
smT
Théorème V. — Le point ou le rayon de courbure Rp est maximum est situé au delà du point ou la vitesse dé descente de la tangente est maximum.
Car ce dernier point, défini '^ par la relation
cF
sinT =
donne, par la substitution, — y-^ négatif. Rp croît donc en ce point.
Théorème VI. — Le point ou le rayon de courbure Rp est maximum est situé au delà ou en deçà du point où le rayon de courbure de la trajectoire est maximum suivant que l exposant n de la résistance est plus grand ou plus petit que i .
*Ch. 6, p. 187.
3l6 LE PROJECTILE
On a en effet \ pour le point de rayon de courbure maximum de la trajectoire, la cpndition
smT = —
qui, portée dans l'expression de — j-^ , réduit la parenthèse à :
(oF - F) = 4p- (/* — I ; .
Théorème VII. — Le rayon de courbure de la roulette
S annule au point t = .
En effet, l'expression de Rp renferme cost au numérateur et le dénominateur ne s'annule 2)as, puisque cF(i') tend vers g.
La valeur de la dérivée — y-^ au
i3oint T ^ devient
rfRp I
Fig. 128.
(h Hi''
Résumé. — La courbe ci-conlre (fig. 128), rejîrésente le rayon de courbure Rp de la roulette en fonction de Tinclinaison t, depuis t = B jusqu'à
1^ T = — — . Elle résume les tliéo- !
rèmes précédents.
177 Forme de la roulette de précession. —
Les théorèmes qui viennent d'être démontrés permettent
* Cu. 6, p. i8'5.
DÉRIVATION DES PROJECTILES OBLONGS 3l7
de se faire une idée bien nette de la forme de la roulette.
I** Tout d'abord, elle est tout entière à 1 intérieur d'une circonférence ayant, pour rayon, le rayon de courbure maximum qu'on sait déterminer (théorème IV) .
2*^ Elle part du point ù où la vitesse est infinie ; mais elle part très lentement, puisque — y-^ est nul. Cela veut
Cl w
dire que le rayon de courbure augmente très lentement ou que la courbe décrit autour de Q un grand nombre de spires.
3*^ Elle a, comme développement, la longueur — -f" ^ •
4*^ Elle finit au point Z, où on a encore : Rp = o;
mais la fin est brusque, puisque — %— ne s'annule pas
Fig. 129.
5'^ Les figures ci-dessus, spirales à deux pôles, tracées à l'intérieur d'un cercle ayant, pour rayon, le rayon de courbure maximum de la roulette, représentent les différents cas qui peuvent se rencontrer.
