Construction graphique de la roulette
— i^ Soit Tq Torigine de la roulette. Le rayon de
courbure en un point est donné par la formule
COST
Le mouvement principal étant supposé connu, on
connaît les valeurs corrélatives de t et de i\ c'est-à-dire, on pourra tracer la courbe de la figure (128), Rp en fonction de T.
D'autre part, on connaît l'angle d»
dont l'axe a tourné autour de la tangente qui est donnée par la formule
du
Fig. l'jo.
«/Uo
COS T
qu'on pourra supposer résolue en fonction de t.
On pourra donc dresser le tableau des valeurs corrélatives de Rp et de 'j».
Or, l'angle de deux rayons de courbure infiniment voisins est rfA. On pourra donc construire, de proche en proche, pour des valeurs de dà variant en progression arithmétique, les points o, i, 2,... centres successifs des cercles qu'on peut substituer successivement à la roulette et dont l'ensemble constitue la roulette elle-même.
TZ
En pratique, on pourra prendre d^ =z "T", à cause de la
faible variation de courbure de la roulette; le choix de
l'angle -7 , qui conduit à la construction de triangles équi-
latcraux, rend particulièrement commode et rapide le trace graphique de la roulette.
derivatio:n des projectiles oblogs
2^ Si on mèno, en un point de la roulette, la tangente MT à cette courbe, cette tangente fait avec la droite TT^ base de la roulette, un angle égal à ^ ; car deux tangentes infiniment voisines font entre elles l'angle de contingence dii.
3° Le point représentatif My qui décrit la courbe de précession, d'abord en coïncidence avec le point T^, viendra en M quand la roulette aura tourné d'un angle 6.
(II
ig. iji
Fig. 1J2.
La disUmce M^M est égale à TM^ :=z 2 et l'angle T^TM^ est égal à V.
4° Donc, si on a construit la roulette de précession, on connaîtra, pour tous les points de cette roulette, c'est-îWlire pour tous les instants du mouvement (en se reportant au tableau de A en fonction de t), l'écart =^ TyM (fig. III) de l'axe et de la tangente, l'angle i et enfin l'angle v de la direction de l'axe et de la tangente.
On aura, ainsi, tous, les éléments pour le calcul de la force (léviatrice cp et de ses projections sur le plan de tir et normalement à ce plan.
3io
179. La courbe de la précession. — Maintenant que la roulette est connue, on peut discuter facilement la forme de la courbe des points M tracée sur la sphère ou sur le cylindre circonscrit le long du grand cercle des T.
1° Supposons d'abord qu'on étudie la trajectoire
complète, depuis i; :=: 00 jusqu'à t
ir
et qu'on
ait lancé le projectile d'une façon normale^ c'est-à-dire sans écart initial Oy de l'axe et de la tangente. Le point représentatif de l'extrémité M de l'axe du projectile sera le pôle ù de la roulette ; ce point lié invariablement à la roulette, va décrire, dans le mouvement de celle-ci, la courbe de la précession.
Nous aurons tout d'abord une limite supérieure de
l'écart du point M et de la droite TT', en remarquant que le point représentatif est situé à l'intérieur du cercle de rayon de courbure maximum. En faisant rouler, au lieu de la roulette, ce cercle oscu-
Fig. i34.
ig. ij).
la leur sur le grand cercle, le lieu du point M serait une cycloïde.
DERIVATIO^î DES PJIOJECTILES OBLO^GS 32 1
Cette cycloïde serait constamment du même côté de la tangente T.
Comme on a démontré que la vitesse de précession était de même sens que la vitesse de rotation du projectile, la cycloïde se détachera de la droite T en 6, du côté où tourne le projectile, c'est-à-dire à droite pour les pièces rayées de gauche à droite ; et à gauche pour les pièces rayées de droite à gauche.
Si, au lieu de faire rouler le cercle de rayon maximum, on fait rouler sur TT' la roulette elle-même, cela reviendra à prendre des cercles de rayons de plus en plus grands comme roulette ; le point M passera immédiatement à l'intérieur de ces cercles successifs et au lieu de la cycloïde régulière du cas précédent, on aura une courbe, formée sensiblement d'arcs A^ épicycloïdc allongée ; cette courbe part du point©, tangentiellemenl
au grand cercle TT\ d'après la valeur de ——- au
point Q (176, II) ; elle présente en I un maximum d'écartemenl qui correspond à la plus grande normale Q^ à la courbe roulante qu'on puisse mener du point Q ; ce maximum est d'ailleurs toujours plus petit que le diamètre du cercle osculateur maximum.
Après être passée par le maximum, la courbe des M se rapproche de la courbe des T, et l'écartement final
au point t = est égal à la distance des jiôles Q
et Z de la courbe roulante. Mais, dans cette région de ï enZ, la courbe de la précession changera de caractère. Aussitôt, en effet, que le point N est dépassé, les cercles successifs et instantanés qui peuvent à chaque instant être
3i'2 LE PROJECTILE
substitués à la roulette, ne tarderont pas à laisser en dehors d eux le pointu. Ce seront donc, alors, des arcs de cycloïde raccourcie qui formeront la courbe de précession. Elle présentera ainsi des boucles de plus en plus prononcées
jusqu'au point! — — I où la dernière boucle ne sera
autre que le cercle de rayon QZ, distance des deux pôles de la spirale.
2^ Si, au lieu de supposer le proJQctilc lancé du point 8, où y = oo , on le suppose lancé d'un point quelconque (a, V„) d'uqe façon normale^ c'est-à-dire avec un écart initial Oy nul, la courbe M sera analogueà la précédente ; mais, au lieu de quitter la droite TT' très lentement, avec des arcs de cycloïde de rayon extrêmement petit, la première cycloïde aura déjà un rayon notable é":al au rayon de courbure de la roulette M,..
3 " Les positions respectives de l'axe du projectile et de la tangente à l'instant t sont faciles à déterminer quand la courbe M est tracée. Il suiïit, en effet, de mener, de la position actuelle T^ de la tangente à la trajectoire, une normale T^Mj à la courbe M ; M^ est la position actuelle de l'axe Fig. i3(i. du projectile ; o = T,M, est donc l'angle
de ces deux axes et v leur azimut.
D'après le mode de génération de la roulette (174) le j)oinl T,' viendra en T^ si l'arc M„T; (compté sur la roulette) est égal à la longueur M^T, ; la distance est la longueur ^î„ Ti'. Ou voit que les maxinia et minima de la courbe de précession correspondent aux normales
DERIVATION DES PROJECTILES OBLO^GS
qu'il est possible d'abaisser du point M^^ sur les spires successives de la roulette.
i8o. Cas d*un écart initial Sy. — Si, h l'origine du mouvement (^,¥0), l'axe du projectile et la tangente forment déjà un angle initial o^, la forme de la courbe M peut être complètement changée.
i^ Soit /Wy le point représentatif de l'axe de figure. Si m^ est à l'intérieur des spires de la courbe roulante relativement à la position initiale M^ de cette courbe,
dont la longueur de Z en M est (— -f- ai, la courbe de précession commencera par un arc de cycloïde allongée .
riiJ (IIO
itr I i"
Fig. i38.
La courbe de précession aura, d'ailleurs, une forme tout à fait analogue à celle du cas précédent, et ses dimensions même pourront être plus réduites. Ce serait le cas d'un écart initial accidentel, mais avantageux à la stabilité du projectile.
2° Si le point représentatif à l'origine est en m\ à l'extérieur de la spire initiale de M^j, mais à l'intérieur
du cercle osculaleur maximum, la courbe de précession commence par être une cycloïde raccourcie, c'est-à-dire une courbe avec boucles ; elle deviendra une cyclo'ide allongée^ puis finira par une nouvelle cycloïde à boucles. (Dans les figures 1 et II (ci-dessus) les rotations du projectile sont supposées en sens inverse).
3^ Enfin, si le point représentatif est en m'^k l'extérieur du cercle osculateur maximum, on aura une courbe uniquement composée de boucles de cycloides raccourcies d'autant plus accentuées que l'écart initial Oj, sera plus grand.
i8i. Courbe médiane de la précession- — Le
théorème suivant est d'une grande importance pratique : la coarbe sinueuse de la précession est compensée^ en moyenne^ par la courbe (Rp, t) des rayons de courbure de la roulette. C'est-à-dire que la courbe dont nous avons étudié les propriétés et donné le tracé au n° 176 est sensiblement la médiane de la courbe, lieu des points M dont le tracé a été fixé au n^ 179.
En effet, soit en A la position actuelle de la roulette ; on peut, très approximativement, durant un tour {^^ variant de 1 tt), remplacer la spire par une circonférence de cercle complète.
Le point représentatif M^, qui décrit la boucle de précession, décrira alors la cycloïde allongée M^M^M,, dont la médiane est la droite PQ parallèle à TT' et située à une dislance de cette droite égale au rayon du cercle osculateur en A à la spirale.
Le même raisonnement étant applicable pour chaque position de la courbe de précession comprise entre deux
miniraa (ou maxlma) successifs, le théorème se trouve démontré.
On peut remarquer que le théorème reste vrai, même dans le cas d'un écart initial o^, ^ puisque la démonstration ne dépend pas de la position du point M^ relativement au centre du cercle osculateur en A à la roulette.
