P^'» XCI....F
comme mesure de la stabilité spécifique d'un projectile qui permettra de comparer entre eux les diflérents pro-* jectiles, dans les conditions diverses de tir.
i83. Conditions de similitude des trajectoires gauciies. — On sait^ que les projections verticales de deux trajectoires seront représentées par deux courbes homothétiques : i° si, la résistance de Tair peut être mise sous la forme B^v".
1^ Si les deux projectiles tirés sous le même angle a ont, à Torigine, la même résistance
cF(V,) = c'F(V;) ou 6„V; = K\\
On sait alors que, en deux points homologues (situés sur une même droite issue de Torigine corrimune) , I ° les inclinaisons t sont les mêmes ; 2^ les abscisses et les ordonnées sont dans le
rapport r~ ) du carré des vitesses initiales V^ et Vq ;
\ yo/ Y^
3*^ les vitesses sont dans le rapport
4° les temps sont dans le même rapport ; 5** les résistances sont les mêmes.
Quelles conditions doivent être réalisées, en plus, pour que les trajectoires gauches décrites par deux projectiles tirés dans une arme rayée soient également semblables ?
: Si la valeur du rayon de courbure Rp de la roulette
I est la même pour les deux trajectoires, l'écart ô de l'axe et
de la tangente restera constamment le même, l'écart
* Cu, 6, p. 247.
initial 3^ étant aussi le même par hypothèse. Comme \di force déviatrice (157) a pour expression
? = (A--i)5ct»,
elle sera la même, sur les deux trajectoires aux points homologues, si k est le même pour les deux projectiles, de même, que la force accélératrice principale cF[v) est la même. La déviation latérale jouira alors des mêmes propriétés de similitude que la projection verticale.
Ecrivons donc, pour les deux projectiles i et 2, où on a déjà c,F(y J = c.JP{v.^) en un point t, l'égalité des deux valeurs du rayon de courbure de la roulette.
On aura :
m^ /Cj /, v^ m.^ k^ /^ v.^
On peut remplacer v^ et u^ par leurs valeurs initiales Vo et Vi d'après la loi de similitude de la projection initiale.
D'autre part, en fonction du calibre et de l'inclinaison finale ô des rayons on a ( 1 66)
b = ^-^tge.
a Donc, la condition générale de similitude sera :
C,tg9, ^ C,tg9, m^aj^k^ m^aj.^k.^ '
Cette condition permettra de calculer l'inclinaison 9^ des rayures à donner à un canon de calibre a^ pour que son projectile ait la même tenue dans l'air que le
33o LE PROJECTILE
projectile du canon a^ (les deux canons étant tirés aux vitesses et avec les projectiles qui assurent la similitude des trajectoires).
Cas particuliers, — i^ On suppose que les projectiles (le calibres a^ et a^ ont des formes extérieures semblables.
Alors k^ = k^ et de plus
Ij, a^ ' On aura donc
2" On suppose en plus que les projectiles sont consditués intérieurement d'une manière semblable. On aura alors
C^ fnfl\
et par suite :
tg e, = ig %.
Les inclinaisons finales des rayures doivent être les mêmes.
I 5. — Dérivation
184. Explication de la dérivation. — Supposons le cas d'une trajectoire quelconque, sur laquelle le projectile oblong conservant, par hypothèse, sa stabilité, l'axe de figure reste toujours très voisin de la tangente à la trajectoire.
Dans ces conditions et même en supposant un écart initial o,, entre Taxe et la tangente, on a vu (i8i) que la courbe de précessioli, lieu des points où Taxe du projectile perce la sphère, était, en moyenne^ située d'un même côté du plan vertical contenant la tangente, puisqu'elle est compensée, à peu près, par la courbe (Ilp,T) des rayons de courbure de la roulette en fonction des inclinaisons t.
D'ailleurs, relativement au plan vertical de projection, cette médiane est située à droite pour une rotation du projectile de gauche à droite, à gauche pour une rotation en sens opposé (/ étant supposé positif, c'est-à-dire le centre de résistance étant entre le centre de gravité et la pointe du projectile).
Mais, la force déviairice qui a pour expression en chaque point
'^ :=z {^k — i) ocF(i')
est (157) située dans le plan de la* résistance.
En moyenne^ l'écart aura toujours le même signe et par suite la force déviatrice agira toujours du même côté.
1 ** Si A: < ï , la force déviatrice est dirigée du côté de la pointe du projectile, c'est-à-dire de T^ vers M^ ; elle aura une action variable en intensité, mais constante en direction qui fera dévier le centre de gravité hors du plan de projection et l'entraînera vers la gauche pour une rotation de droite à gauche.
Le centre de gravité du projectile décrit ainsi une trajectoire gauche dont la projection sur le plan de tir
Fig.
est la trajectoire principale et qui se projette sur le plan horizontal suivant une courbe sinueuse dite courbe des dérivations ; la dérivation est l'ordonnée de cette courbe dont les abscisses sont les valeurs des x de la trajectoire principale.
2'' Si A; < I , la force déviatrice sera dirigée de M^ vers T^ ; la dérivation se fera en sens contraire du cas précédent. Bien que la pointe du projectile soit toujours dirigée vers la gauche du plan de projection, par exemple, la dérivation aura lieu à droite.
On a vu, au paragraphe 2, les circonstances»qui font que k est plus grand ou plus petit que Tunité. Rappelons que la valeur de k dépend tout d'abord de l'exposant n de la résistance de l'air que l'on admet ; il pourrait donc se faire, avec la loi expérimentale F(v), où l'exposant n varie beaucoup, que, sur une même trajectoire, le facteur [k — i) changeât de signe, ce qui après une dérivation dans un sens pourrait entraîner une dérivation dans l'autre, c'est-à-dire un point d'inflexion de la courbe des dérivations.
k dépend en outre de la forme de la tête du projectile, et on a vu que, pour des angles ogivaux aigus comme ceux des projectiles de la marine, k était > i, tandis qu'il pourrait devenir < i pour des projectiles se rapprochant de plus en plus de la forme des boulets cylindriques. Pour certaines formes de projectiles, on pourrait donc avoir Z; = i , en moyenne c'est-à-dire que la dérivation serait nulle,
i85. Expression de la force déviatrice. — S'il s'agit du problème pratique du calcul de la dérivation, il est évident qu'on obtiendra une valeur suftisamment
approchée de cet élément en substituant, à la courbe sinueuse de la précession, la valeur médiane tout le long de la trajectoire que le théorème du n^ 1 8 1 a permis de déterminer.
Dans l'expression de la force déviatrice
o = {k— i)8cF(i;),
on remplacera donc o par le rayon de courbure de la roulette Rp c'est-à-dire par :
g cosT X cvF
de sorte qu'on aura :
,, .a COST mlk
o = [k — i) avec x = -j,— ;
La force déviatrice, nulle au point 0., où d = oo , augmente jusqu'à un maximum tel que :
I /cosT dv , , \
f- -f- sin T = o .
En remplaçant —j- par sa valeur (175)
dv V /cE , . \
~7- = ( hSlUT ,
dz COST \ g I
on voit que le maximum a lieu pour
cF
[- 2 sin T = o .
Après le maximum, cp diminue jusqu'au point
où '^ = o.
i86. Équations différentielles du mouvement.
— Prenons, comme troisième axe, Oz horizontal, per- ])endiculaire aux deux autres et du coté où se produit la dérivation ; les équations différentielles du mouvement sur Ox et Oy ne seront pas changés (iSj) pour le mouvement du projectile oblong.
Suivant Oz, agit normalement au plan des xy la
force déviatrice co = f fc — i) — . Mais cette force
en engendre une antagoniste : soit, en effet, à Tinstant ^ actuel, r^ l'inclinaison de la ian-
~ gente à la courbe de la dérivation
relativement à Taxe Ox. La résis- Fi«, ,^j tance de Fair cF qui agit suivant
cette tangente a une composante parallèle à Oz qui est — cF sin r^ cost.
Par suite, l'équation du mouvement sur le plan xOz sera
d^z ^ . , ., .g COST —rrr = — cr sm x cos t + ( /c — i ) -^^^ .
L'angle Tj sera, par hypothèse, une très petite quantité ; on pourra remplacer le sinus par l'angle ou la tangente.
On a, dans ces conditions : dz = r^dx et par suite :
d'Z d'x , dx dr\
dt' ' dt' ' dt dt
Mais, l'équation différentielle du mouvement principal sur Ox, donne :
—f-T- = — cr cos T.
dt'
DÉRIVATION DES PROJECTILES OBLO^îGS 335
On aura ainsi :
di dt
Mais
dx dt
on a donc :
dr\
dx dr^ .. . gr cos
V cos T ;
dt ^ ^ X u'
On peut encore, en vertu de la relation :
g cos T écrire celte équation
di ^ ' xu '
Ainsi, Tangle Tj croît quand t diminue, sans qu'on
puisse suivre sa variation jusqu'à t = etu==o
puisqu'on a supposé dans rétablissement de l'équation diÛerentielle que yj était un très petit angle.
Comme, d'autre part, l'équation de l'hodographe donne :
du = — v¥ c/t,
il viendra, pour l'équation diflerentielle
xc uvF(y) Si on suppose que cette équation soit intégrée et
qu'on ait obtenu t^ , on aura z par la relation
=±= / r^dx.
Démonstration géométrique de la formule qui donne
dr\. — Soit, au temps f, MA la
vitesse du projectile qui est égale à
. Pour avoir la vitesse au
''C COS 'f\
Fig. 142. temps t-{- dt^ on portera :
AB = — cFcosT^T et BG = -^^ ^
di;
MC est la vitesse au temps t -\-dt. Dans le triangle MBC, on a :
BC sinM MG ~ sin B •
A la limite
sin M = dr^ , sin B = cos r^ .
donc
dr^ [k — i)g cos t cos 'f\
dt,
cos 'f^ X VU
Mais
, V d'z i du
g cosT ' cosT cF Il viendra donc, en remplaçant cos r^ par Tunité
dr = — i!l:zJ}l—^,
' . xc uv¥{v)
Exercices. — Développer en séries les valeurs de y) et de z.
On trouve :
«oV5
' + li^^^^ sin a + 3 cFo) +---J
On voit i**Que la courbe des dérivations est tangente à l'axe des x.
•2** Que zest inversement proportionnel à la puissance 3 de la vitesse initiale.
3*^ Que le premier terme (en x-) de la courbe z ne dépend pas de la résistance de l'air cV.
187. Tir courbe à faible vitesse. Formule de la dérivation. — On sait^ que ce tir est caractérisé, en première approximation, par la constance de la vitesse horizontale u.
L'équation
s'intégrera donc immédiatement et donnera :
(fc-i) , ,
tg r. = -^^ ^ (a — t) .
D'autre part, on a, avec la même approximation :
, ul dx dz
ax= T— et, comme -7— = ts 'O
g^ cos^T dx ^
* Ch. 6, p. 446.
on écrira :
t,'a COS T j/a
COS-T
Mais on a :
On a donc :
2=-^^ ^-^ Log (a — T)tgT
X S' L COS a ^
Au pom/ c/e chute ^ la dérivation totale Z„ s'obtiendra en faisant 1 = — a. Par suite on aura :
Z,^= -^ a tga = — ^ — - V„ asina
ou bien encore :
aT.
Au sommet^ on a :
Zg = -^^ — ^ l^Off sec a.
188. Tir de plein fouet. Formule du général MayeTVSki. — Dans le tir de plein fouet, on sait* que v doit être remplacé par la variable u. On a donc :
dri (Ji — i)g du
cos'vi xc u'F{u) '
* Ch. 6, p. 3 14,
M « = — / -TPrr-.
Posons, comme définition d'une fonction balistique :
'^ du
Xu) Il viendra, en remarquant .que vj = o pour ii = u^^ :
o» tg^ = ^^~/^^ (M -Mo).
D'autre part, on a :
, udu
et, par suite, comme dz = dx tg r^ :
(k — i) a r^ , V udu
c'est-à-dire
Y C"" udu r- uc/a"!
Posons :
B(«) = -j[ M-p- et D(«)=-j-pr-
Il viendra :
ou par abréviation
^= ~' [B-B.— M.(D — Dj]
Ainsi donc, le problème est résolu, pour un point quelconque de la trajectoire défini par sa vitesse restant horizontale iz, moyennant le calcul effectué, une fois pour toutes, des deux fonctions balistiques de Mayewski :
B(a) et m(u).
Au point de chute, par exemple, on aura :
Z.= ~ '^^ [B. — Bo— Mo(D. — Do)].
HC
lO Cas de F(v) = BaV^.
On a
"^ du
1 r^ du I I I
" du
^"^ ~ B^ j^ «--1 "" Bn n — 'i a--2
Par suite, en posant cB^ = 6^, il viendra
in—i Ku-''-^ «f-^
ou encore
H b'àn-^-i I I / I i\
La dérivation z pourra s'exprimer en fonction de x en
remplaçant — par *
[l + (/l 2) «J~*6nX] n-2
ti** Développement de z en fonction de x.
Soit Tcquation
z = -^^ 1 >.' FB — Bo— Mo(D — D qu'on écrira
HC
Posons
B=Bo+x
i'^ W-^f^Vo
c?x Or
dB = — M -pr- = cMaa? ;
donc
dB -T-=cM
D'autre part,
du I M^li c
Donc
d'B dNL c-
On aura ainsi :
I c- B = Bo + cMoa:î+T TiT 3î-+---
et par suite
XU"è '2
* Ch. 6, p. 38o.
La courbe de la dérivation a ainsi deux points de contact à r origine avec le plan de projection. Elle lui est simplement tangente.
Comparer avec le développement du n° 186 (exercice).
