Étude de la roulette de précession

1^ Intégrale de F angle 4* de précession. — Dans le cas du tir de plein fouet, la formule (173. V) qui fait connaître la rotation 4* due à la précession, s'écrira :

c/i = — xc/u «

puisque cos t doit être pris égal à l'unité et s'intégrera par la formule :

A est l'angle dont a tourné la roulette de précession pour venir de l'origine M^, au point T actuellement considéré ; on voit que cet angle est proportionnel à la perte de vitesse horizontale du projectile.

D'autre part, le rayon de courbure Rp'de la roulette de précession a, au point u, la valeur (175) *.

en posant ^{u) = — r=T .

2° Développée de la roulette. — Cherchons l'expression du rayon de courbure Rp, de la développée de la roulette de précession au point u.

TI étant le rayon de courbure Rp en T,

TV étant le rayon de courbure Rp -\- c?Rp en T', ^^ point voisin de T,

d^ Tangle qui délimite le segment

on a, par définition :

Fig. 144*. ^*~""rfjr'

.ce. qui, en introduisant la valeur

c/A = — X rfu donne :

Rp

du X c

On aura donc ainsi

rfRi

X du

Mais i;;k=ij. $'(„).

Rp. = -f -A- "!>'(«)•

Mais, on peut répéter sur la développée de la roulette le même raisonnement : on aura pour la développée du 2® ordre :

*^'''~ d^ ^ du ^ c x' ^ ^

En répétant le même raisonnement de proche en proche, on obtiendra le tableau suivant :

* Erratum à la figure l^. Au liôù de T, lire T'.

Rp. = (-')'?-ïVr<ï'"'(«) =1 :i^.("+i) (n+a)...

(^ï+OT^rrrrr

On a porté dans la colonne de droite les valeurs correspondantes à rhypothèse F(y) = Bij)^ avec cB^ = fc^.

On voit que, dans cette hypothèse, l'expression de Rpi est la suivante :

I (n-h i) (ai+2) (n + O ^

r\p, — — j ï lip

en fonction du rayon de courbure Rp de la roulette.

3* Convergence de la série des Rp. — Prenons le premier rayon de courbure, / = i ; on aura :

Comme u va constamment en diminuant sur la trajectoire, Rpj va constamment en augmentant ; donc la développée est une spirale dont les spires s'enveloppent successivement comme celles de la roulette de précession. 11 en est de même de tous les autres rayons de courbure Rp^ . . . , Rpi .

On peut écrire aussi :

Rpi = Rp

Mais, dans l'application aux projectiles de l'artillerie

le facteur — — est numériquement petit (de

Tordre de i / 1 o pour les cas pratiques de Tartillerie) .

Donc, la développée de la roulette de précession (tir de plein de fouet) est beaucoup plus petite que la roulette elle-même et est inscrite dans un cercle de rayon très restreint autour du centre de courbure de Torigine.

Or, d'après la formule de récurrence :

(n+i) (/1+2) jn + i)

l\p. — — ^^^^ ... lAp,

' xu xu xu

pour avoir Rpj il faudra faire le produit de facteurs de

la forme ; ils vont en ausrmentant avec le

""^ . n-hi nombre n ; mais, tant que sera une véritable

'■ xa

fraction, c'est-à-dire tant que sera plus petit que

l'unité, les rayons de courbure Rpj successifs iront en diminuant. '

A la vérité, pour / sufTisamment grand, Rpj augmentera et la série ne sera pas convergente à proprement parler; elle est du genre des séries semi-convergentes, où le's premiers termes vont en décroissant. Elles jouissent alors, dans cette première région, de toutes les propriétés des séries convergentes.

192. Calcul de la force déviatrice- — i° Calcul de ô sinv et 8 cos v. — Bornons -nous donc aux premiers termes de la série et supposons, par exemple, que Rp^ soit négligeable.

Soient tracés, sur la figure, les rayons de courbure de Torigine correspondant aux développées successives R^^,

Ro, Ri\ Ri" et les rayons de courbure après la précession ^^ c'est-àdire Rp, Rp,, Rp2, Rp3, ainsi que le& portions de la roulette et de ses développées.

On aura M»M = 2

Fig. 145.

angle NMM^ = v ; angle TNM = à.

L'ensemble des droites de la figure forme un contour fermé.

à) Projetons le contour sur le rayon Rp. On aura :

5 sin V + (Ro — Ro.-O cos 4; + (R; — Ri''+...) sin A

— Rp — |- Rp — ••• = o d'où on déduit :

osinv=Rp — Rp2+... — (R^— Ry'+...) sin^

— (R/— R;'...)cos^

Remplaçant les R cl les R^^ par leurs valeurs, ainsi que ^ par i^[Uq — w), il viendra :

sinv

llq>(^a)—S-}-<^^'(u)..,

cx^

sin[K(u^ — u)]

9 ex

cos [x (Uq — u)]

OU encore, en développant les sinus et cosinus :

6 sin V = -^ — ^ fa) — -^ — ^" (u) +■ ex > ^ ex ^ '

+ SîBq sin xu + 9So cos xtt en posant :

cos Xtt^.

6) Projetons maintenant le même contour sur la tangente MN.

On aura :

5cosv~(R,— R;'...)sin^ + (R;— R7...)cos'} + Rp3— Rp=o

d'où :

ocosv=Rp, — Rp3...+(Ro— R;...>ii^^— W— I^i"-Ocos+.

En opérant comme ci-dessus, on obtiendra la for- " mule :

-I- ^Q sin xa + ^^ cos xu

ex" ' ' c x^

Dans ces formules :

DALISTIQLE. H. 20

COS XUjj

35o LE PROJECTILE

193. Fannnle de la dérivation- — On a donc>, dans ces formules, exprimé osinv en fonction de la seule variable a, vitesse horizontale ; et S sin v connu, on a Texpression de Taccélération de la force dévia trice, qui agit normalement au plan de projection par la formule

îp = (^k r) cF 5 sin V.

1° On a d'abord :

On aura alors, pour la force dévia trice :

!p.=: ( A — I ''■ cF («) 5 sin V •

+ dVû^ [k — I ) c F(u) sin ku ?5(, (A — r) c F(ii) cos xu.

2° On raisonnera alors comme au n^ 1 86 pour rétablissement des équations différentielles. Ecrivant à cet effet (tir de plein fouet) :

^= — ctsmr,H-cp

on prendra comme variable y^, et on établira les équations :

dr^ y dr\ <p

dt u ck a

pois, remplaçant d-: par — -.= , d'après Téquation de rhodograpKe, il viendra :

, I du

dr. = ?-^-

c * uh

Si on met à la place de A sa valeur trouvée précédemment, il viendra :

i j 9 J du g I aF(iiF^+2F0— o.(^F+F)^

k — i '^''^—n c u'F iê 7 i?F^ +•*•

4- cïïBn — sin xu + %„ — cos xu y On obtiendra r, par des quadratures :

+ (97So/ — sinxu + 9Sy| — cosxu

Le premier terme donne le terme principal de la série.

C'est le terme conservé par le général Mayewski et qui est représenté par l'intégrale M (w) ,* les autres termes sont des termes secondaires qui sont de deux sortes : les uns, en nombre très grand, conservent toujours le même signe, les autres sont périodiques. Ceux-ci introduisent, par l'intégration, deux nouvelles fonctions balistiques

cos xu

I — sinxu et / — Ji: U JiT u

Une fois l'inclinaison yi connue, on en déduira la

dérivalion z au point u par rintégration de la formule

ndu

p ndix

qui introduira de nouvelles fonctions balistiques parmi lesquelles la fonction b(u) de Mayewski représentera le terme principal.

4° Le problème de la dérivation dans le cas du lir de plein fouet est ainsi résolu complètement, dans le cas général d'une résistance de l'air quelconque ; la solution s'en présente sous la forme de séries de fonctions balistiques et le terme principal correspond à la formule du général Mayewski.

193 bis. Correction du terme principal- — Cherchons maintenant l'influence de la composante 8 cos v qui produit une perturbation secondaire sur la trajectoire du problème balistique principal.

Pour ne pas compliquer les calculs, nous réduirons S cosv à son premier terme qui est Rp^, en négligeant les rayons de courbure d'ordre plus élevé et les termes périodiques. Rp^ est déjà petit par rapport à Rp qui produit la dérivation.

On peut donc afîirmer a priori que Ja correction dont devra être affecté le mouvement principal sera très petite.

On a alors :

cos v== — — -ô 4>Yu)

ou bien :