OS
li'Y
Cette force agit perpendiculairement à la tangente à la trajectoire, vers la concavité de cette courbe. D'après les hypothèses du tir du plein fouet (t petit), sa composante suivant l'axe des x sera nulle, et elle se pro- p.' ^ jettera en vraie grandeur suivant la verticale. Les équations différentielles du mouvement seront donc :
^{ = -cFsm.-(^ + (A-i)i^— ^)
Rien ne sera donc changé que la gravité, de sorte que les transformations ordinaires s'appliquant (76.2^), on arrivera aux équations différentielles suivantes :
Jl^—9(,,(k-,)^^'^El±I\^. dx~--—'
dt=—-:—2-'^ ^r=— T^g
^cosH' g ^ cos"^T
dont la première seule contient un terme correctif.
L'intégration de ces équations est très simple par Tintroduction de quelques fonctions balistiques nouvelles, telles que :
/-«uF'+F , /^"aF + F , /''^uF + F,
194. Démonstration analyticpie. — On peut arriver, par Tanalyse, aux formules établies précédemment par voie géométrique. Voici comment peuvent être conduits les
calculs.
i^ Etablissement des équations différen-
^ tielles. — On sait (179) que la courbe de
^ ^'Ç précession, lieu du point M, résulte d'un
double mouvement : 1** rotation de M^
autour de Ti avec la vitesse de précession
bp = X cF{y) ; a° déplacement de Tj sur
le grand cercle vertical de la sphère avec une vitesse
linéaire
il— dt ~~
Posons
8^ = 8 sin V et 8^ = 8 cos v.
Pendant le temps dt, le point Mi vient en MiM/ tournant autour de Ti d*un arc MiMi' = h^c¥ dt.
En projetant sur 8j, on aura
g cos
et par suite Mais
d^i = M,M( cos V rfSjL = x8 cos V cYdt
dt = ^
cosx
dz = —
du
cF cos T
Donc
dài = — X82
du
COST
Pour avoir d^i, on projettera sur le grand cercle T :
J82 = TiT{ — MiMJ sin v = — d- — x8 sin v cFdt
= — d'z — xSicFdZ ou
a du ^ du
d82 = — 4 t:ï^ + «Si
c vF
cosx
Telles sont, dans le cas général d'une trajectoire quelconque, les valeurs de d^i et de d^z-
Dans le cas du tir de plein fouet, ces équations se réduisent aux suivantes
du ^ c uF '
•2** Intégration des équations. — a) Pour intégrer ces équations, on considérera d'abord le système sans second membre.
De la seconde, on tirera :
Kl du ^ du X du^
et, par suite, en combinant avec la première
Multipliant par 2 -r- et intégrant, on aura
a étant une constante.
On en tire
= xdu
d'où, en intégrant une seconde fois
arc sm — == xu -+- « a
a' étant une nouvelle constante.
On a donc
82 = a sin (xu + a')
ou, en développant le sinus.
82 = 6 sin x« 4" b' cos xu
6 et b' étant deux constantes arbitraires.
On trouvera ensuite, en portant 82 dans l'équation
la formule
8| = 6 cos KM — b' sin uu
P) Regardons maintenant 6 et 6' comme deux fonctions de u, indéterminées, que nous choisirons de manière que les équations avec second membre soient satisfaites. On aura
^5, . , . ^, , db dy .
—7— = — 6x sin xu — 6 X cos x« +— j- cos x« 7— sm x«
du du du
dh, db . db'
—j — = ox cos x« — 6 X sin xw + -r— sin xiz + —. — cos xu du * du du
On aura donc :
db db' .
cos xu ; — sm x« = o
du du
db . db' ' q
sm xw + — 1 — cos XH = —
du ^ du . c u¥
On en déduit :
db g i ,
sin xu
of« c u¥
db' q I
—7 — = — -^ — i=; cos xw au c ur
Donc , , q r'^sïiiKU , ,, ,, <7 r^ cosxu
On aura ainsi :
s s • I. 9 f^sinxu ô , = sm V = On cos x« — -^ cos xu i j^ — au
— 6o sin xtt + — sin xiz 1
*" cosxu
sï s; ï. • 5^ • f ^ sin xh
ô., = cos V = 6o sm xu — -^ sin x« I — ^r- au
n f*^ COS XK + ^0 ^^^ X« -j- COS X« I rr- C?«
Ce sont là les valeurs générales de 8 sin v et de 5 cos v qui sont exprimées en fonction de la variable w et qui sont valables même dans le cas d'un écart -angulaire initial défini par les valeurs arbitraires 6o,6J: elles sont ainsi plus générales que les formules obtenues au n° 192:
1 95. Formule générale et complète de la dérivation dans le tir de plein fouet. — En portant la valeur de 8 sin v dans l'expression de la force déviatrice
cp = (/c — i) cF 8 sin v
cette force s'exprimera en fonction de l'a variable u ; en raisonnant comme au n^ 186 on pourra établir les équations différentielles du mouvement, déterminer yj qui sera aussi une fonction de «, puis z par de nouvelles quadratures.
On introduira ainsi des intégrales doubles dans r\ et triples dans z, de sorte que la formule générale qu'on obtient ainsi, très facile à écrire, mais très ardue à mettre en table numérique, n'offre d'intérêt que parce qu'elle contient, dans sa simplicité symbolique, la solution complète du problème de la dérivation dans le cas du tir de plein fouet, et qu'elle permet de résumer, en une forme simple, la série des raisonnements faits pour parvenir à la réduction du problème aux quadratures.
Au point de vue des applications pratiques, cette formule trop générale ne peut être d'aucune utilité et on est amené
à lui substituer le développement en série obtenu directement par la méthode géométrique du n*^ 192.
Exercice, — Montrer qu'on peut passer des formules générales qui donnent 81 et 82 aux formules du n*^ 192. Il suffît de faire des intégrations successives, par parties, des intégrales.
196. Les termes correctifs du mouvement principal. — Pour achever complètement la solution du problème balistique dans le cas du tir de plein fouet et donner l'expression de tous les termes secondaires qu'introduit la dérivation, il nous faut '^p y y t revenir à l'étude de la résistance
oblique (iSj).
Appelons cF(v) l'accélération Fig. 148. tangentielle de la résistance de
l'air, c'est-à-dire celle qu'on mesure lorsque l'axe du projectile est rigoureusement en coïncidence avec la tangente à la trajectoire.
1° La résistance oblique^ pour un écart 8 entre l'axe et la tangente, qui a été désignée par R, est plus grande que cF(i'). On a dit, au | 2, comment il serait possible de la calculer, si on admettait l'exactitude sufiB:sante des hypothèses faites à cette occasion.
En tout cas, on pourra, en général, représenter R par la fonction :
Yiy) [c cos S -f- c' 'sin^ 2]
où c' serait, relativement à la surface latérale du projectile, nn coefficient balistique analogue à c pour la surface transversale. Le sinus est au carré à cause de la symétrie nécessaire de F(u) pour ± S, et d'après les calculs sommaires effectués au § 2.
2^ D'autre part, la force R'' a pour composante, suivant la tangente :
R'/ cos.(S^ — 2) = R'- cos (k — i)S.
Par suite, l'expression de la force tangentielle sera :
F(î;) [c cos s + c' sin^ 8] cos (k — 1)0 qui s'écrira :
ou bien :
On remplacera alors, dans cette formule, l'écart o par le rayon de courbure de la roulette, sa valeur médiane, qui a pour expression, dans le tir de plein fouet :
X cuF *
On aura donc, pour l'expression de la résistance
c- lï'F'
en posant :
On aura, pour l'équation de Thodographe :
COS^T
g du c ttF
c' li'V
•il?2
36o LE PROJECTILE
«t pour les autres équations du mouvement :
du / Xi
dt
I da / "" ~ T "F \
dx =
I udu / X
V à u^FV
, I udu ( X I \
L'intégration se fera très aisément, en introduisant de nouvelles fonctions balistiques telles que :
r^" du r^ du /•" du
Jv "[Fp ' ./u n^' X '^' ^^'
Le problème peut donc être considéré comme entièrement résolu.
3*^ Il existe enfin un troisième terme secondaire produit par la composante 8 cos v dont nous avons donné l'expression (igS bis).
t ^. — La trajectoire gauche du projectile da:ns le voisinage de la bouche
197. Hypothèses. — De même que dans Tétude du problème balistique principal, on a rencontré, comme cas-limite, le mouvement reciiligne horizontal et que cette hypothèse simple s'applique avec une exactitude très suffisante dans le voisinage du sommet de la trajectoire (t =0), de même, le problème de la dérivation d'un projectile oblong admet comme cas-limite, dans les mêmes conditions, Tétude du mouvement sur une
Irajectoire sensiblement rectiligne, d'un projectile soustrait à Faction de la pesanteur (composante de g négligeable dans la" direction du mouvement) ,
Cette hypothèse, d'autant mieux réalisée — ou vérifiée sur une étendue d'autant plus grande — que la vitesse initiale sera plus considérable, entraîne une conséquence importante : c'est que le rayon de courbure de la courbe roulante de précession donné (175) pour 7 = 0, par la formule :
gCb ^ g
mlkcv¥{v) xcvF(y)
sera, très souvent, extrêmement petit.
Avec les projectiles ordinaires de l'artillerie navale, pour des vitesses usuelles de 800 mètres par exemple, ce rayon de courbure ne dépasse pas quelques minutes . Or, on sait que l'écart 8 de Taxe et de la tangente ne dépasse pas le double de ce rayon (179).
On aura donc, souvent, le droit de négliger Yécart 5, normal^ dû aux lois mêmes de la rotation du corps solide devant ï écart accidentel 5^, dont Tordre de grandeur atteint souvent plusieurs degrés, et qui est produit par le départ défectueux du projectile lorsqu'il quitte la bouche de la pièce, sous l'influence d'actions perturbatrices très variées dont l'étude est du dortiaine de la Balistique Expérimentale.
Dans la suite du mouvement, à l'écart accidentel 8^^, se superposera l'écart normal S, dont les variations ont été étudiées précédemment dans la discussion de la courbe de précession ( 1 79) .
Mais, dans le problème actuel, qui répond ainsi qu il vient d'être dit à des réalités pratiques et qui s'appli-
36l LE PROJECTILE
quera en parliculierà létude de la trajectoire à sa sot^ tie du canon, OD admettra donc que le mouvement principal du centre de gravité est recUHgne et horizontal^ et que Cangle de Caxe du projectile de la direction du mouvement principal est, à l'origine des temps, égal à 5„, Nous nous proposons de faire l'étude des perturbations (jui viendront alTecler la trajectoire rectiligne du mouvement principal,
198. Constance de l'angle 0^. — L'axe du projectile tournera autour de l'horizontale, direction de la trajectoire, avec une vitesse de précession bp donnée par la formule (172)
bp := Kcrfi'), en posant x :=— ^.
D'ailleurs, il en sera ici exactement comme dans le cas de la toupie (i36). Le couple peiturbaleur étant situé dans le plan de la résistance, c'est-à-dire son axe étant perpendiculaire au plan de l'axe du projectile et de la tangente, qui conlient l'axe du couple acquis, l'angle de l'axe et de la tangente restera constant. La seule dilTérence entre le mouvement de la toupie et celui du l)rojectile sera donc que la vitesse avec laquelle l'axe décrit son cùne de révolution et qui est égale (134) *u couple perturbateur, ne sera plus constante,
■ 99. Loi du mouvement conique de l'axe du projectile. — Soit, sur un plan vertical perpendiculaire à la trajectoire principale, ûla trace, de cette droite. Soient ÛM„ la direction initiale de l'axe du projectile que nous supposerons dans le plan vertical au moment
choisi pour origine des temps, et QM la direction actuelle de Taxe, au temps t.
bp étant la vitesse angulaire de rotation du point M, Tare ^ = MjjM, augmentera pendant le temps dt de bp dt. On a
donc :
d'i = hpdt.
Remplaçant bp par sa valeur, il viendra :
dà = xcF(v) dt.
Mais, Téquation du mouvement rectiligne sur la trajectoire donne :
, I dv
Par suite :
d^ = — xrfy,
c'est-à-dire, en intégrant
d'où les théorèmes suivants :
a) Varc décrit est proportionnel à la perte de vitesse du projectile depuis l origine (Vo) .
b) Vaxe du projectile aura fait un tour complet quand la vitesse v sera devenue :
c) Varc total que taxe aura décrit quand la vitesse v sera devenue nulle ^ est égal à 4* = ^^q-
