Mouvement du centre de gravité- — On
sait (157) que la force déviatrice est située dans le
plan de résistance et dirigée, au temps /, suivant QM perpendiculairement à la trajectoire principale ; elle a pour expression :
en posant :
Ses projections ont pour valeur :
Sur le plan des xz : cp cos (Miî^^) = \t,^cY sin x (V^ — v) — xy : (D sin (MQ j) = ]x^cF cos x (W^ — v)
i"^ Projection horizontale (xz). — Soit I la position actuelle du cenlre de gravité dont les coordonnées sont :
^ = QF = P-Pq
z = ir.
Désignons par r,j Tangle delà courbe, lieu de I, avec Taxe des x.
Deux forces agissent au point I, perpendiculairement à Taxe des x : i° la composante de la force déviairice^ c'està-dire
;j./F sinx;;V, — u),
9.^ la composante de la résistance tan- YW, ,.5o. gentielle cF, dont la valeur est cF sin r,^
ou, dans Thypo thèse actuelle 'r\^cY .
Sur la figure, le point M étant supposé entre o et - et r,2 étant supposé positif, les deux forces agissent en sens inverse, et on a :
dt
T = \i.,c¥ sin x(Vo — v)— r,,cF,
Mais, par définition,
dz == 7)^ dx d'où on déduit :
dh d^x dy\j, dx
ir^'^''dF'^ir~dt'
Comme on a, dans le mouvement reclilignc :
dt'
d'z il viendra, en identifiant les deux valeurs de -r-j- l'équa- , • ut
tion :
^ , dx , dv nemplaçant -y- par v et dt par û" ? ^^ ^^^^ •
dri, = — [X, — sinx (V, — v)
équation très simple qu'il va être facile d'intégrer. Développant, à cet efTet, le sinus et posant
xy = p, on aura :
c/r„=— 5x,sin(po — p)-r- •
P dp . dp
= — [i-o smpj, cosp — ^ + [x^^cos p^sm p — ^
de sorte qu'il viendra, en intégrant :
-/;, . /•? dp , /"p . dp
— = — smpo / cos p — i- + cos P(, I sinp— ^,
[^0 */Po p «/Ço ?
sans constante, parce qu'à Toriglne du mouvement, Tangle yj^ est nul, aucune vitesse perpendiculaire à la trajectoire n'étant supposée imprimée au centre de gravité.
On peut remarquer qu'on arrive à ces mêmes formules, en partant de la valeur de 5 sin v trouvée au n® 194, en supposant nulles, en moyenne, les intégrales qui figurent dans le second membre, et en posant
i^û siï^ ?o = — K et [X, cos p, = — b\.
2^ Projection verticale (xy) . — La composante de la force déviatrice sur le plan xy est [jl/F cos x(Vo — v) et la composante de la résistance tangentielle */jycF.
On aura donc (i®*^ quadrant, 7)^. positif).
-^ = ft^^F cos X (V, — v) — TlyCF.
équation qui, par une transformation tout à fait semblable à celle effectuée pour la projection horizontale, conduira à Téquation :
rfyiy = — [X,COs(p,— p)^
= — [jLq cos Pq cos p -^ — uLq sm p^ sm p -^
d'où l'intégrale :
71v n dp . A . dp —^ = — cos pp / cos p — ^ sm Pp / sm p — ^ .
i^ Intégrale des inclinaisons. — La solution du problème introduit donc deux intégrales :
do r rfp
cos p '
dont on peut calculer une table numérique :
Posons :
p = / sm p — ^ et 1= / cos p — ^
on pourra mettre les inclinaisons sous la forme :
= — sin p, (P — IS) + cos p, (P — 15)
J^iL = cos p, (P - IS) - sin p, (P - 15).
Les inclinaisons Yj^ et T,y sont, ainsi qu'on le voit, indépendantes de la résistance de Tair et du coefficient balistique.
20I. Trajectoire du centre de gravité. — On
peut poursuivre la solution, et passer des inclinaisons t) aux coordonnées z et y au moyen des relations :
, , vdv
dz = r.^dx = — 71, -^
j j vdv
dy = 'f\^dx = — -Oy-^
Pour pouvoir introduire la variable p, supposons Y(v) = B^u", et posons cB„ = 6^ ; il viendra :
On aura ainsi :
z /•? /*? do r^ /*? rfo
°6n— =sinpQ / p*~°rfp / cosp-^ — cospo / p*""G?p / sinp-^
Po / P^~°^? / cosp-^+sinp, / p*~°Gfp / sinp-2
c/po ,/ço p t/p» t/po p
Le problème est ainsi résolu, moyennant la connaissance de deux intégrales doubles de la variable p =xv.
